@ccueil Colles

Droites du plan - Vecteur directeur et équation cartésienne





Vecteur directeur - Définition et propriétés


Définition
Un vecteur directeur d'une droite $d$ est un vecteur $\vec{u}$, non nul, dont la direction est celle de $d$.
\begin{pspicture}(-1,-1)(4.5,1.8)
  \psline(-0.9,-0.3)(4.2,1.4)\rput(3.7,1.5){$d$}
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{->}(0.6,0.2)(1.8,0.6)\rput(1.1,0.7){$\vec{u}$}
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{->}(1.8,-0.8)(3,-0.4)\rput(2.4,-0.3){$\vec{u}$}\end{pspicture}\]

Remarques:
  • Si $A$ et $B$ sont deux points de la droite $d$, alors $\V{AB}$ est un vecteur directeur de $d$.
  • Si $\vec{u}$ est un vecteur directeur de $d$, alors pour tout réel $k\not=0$, le vecteur $k\vec{u}$ est aussi un vecteur directeur de $d$.
  • Deux droites $d$ et $d'$ de vecteurs directeurs respectifs $\vec{u}$ et $\vec{u}'$ sont parallèles si set seulement si $\vec{u}$ et $\vec{u}'$ sont colinéaires


Propriété
Le vecteur $\vec{u}(-b;a)$ est un vecteur directeur de la droite d'équation cartésienne $ax+by+c=0$.


Exercices corrigés


Exercice 1
Soit la droite $d$ d'équation $-x+3y+1=0$. Donner un point et un vecteur directeur de $d$.


Exercice 2
Déterminer une équation cartésienne de la droite $d$ passant par $A(-2;5)$ et de vecteur directeur $\vec{u}=(2;3)$.
Donner aussi l'équation réduite de cette droite.


Exercice 3
On donne les points $A(1;-1)$ et $B(3;2)$. Déterminer une équation de la droite $d$ passant par $A$ et $B$.


Exercice 4
Dans un repère $(0;\vec{i},\vec{j})$, on donne les points $A(1;5)$, $B(-3;2)$ et $C(5;-1)$.
  1. Déterminer une équation cartésienne de la droite $d$ passant par $A$ et de vecteur directeur $\vec{u}(3;1)$.
  2. Déterminer une équation cartésienne de la droite $d'$ passant par $A$ et parallèle à $(BC)$.


Exercice 5
  1. Démontrer que les droites d'équations respectives $5x-2y-4=0$ et $y=-2,5x+0,5$ ne sont pas parallèles.
  2. Quelles sont les coordonnées de leur point d'intersection ?

Voir aussi