@ccueil Colles

Représentation paramétrique des droites du plan



Prérequis

Avant propos: À voir, connaître aussi, avant:
La notion vectorielle fondamentale pour tout ce qui suit: colinéarité de deux vecteurs.

Représentation paramétrique


La représentation paramétrique d'une droite permet de représenter algébriquement une droite à partir d'un vecteur directeur et d'un point de cette droite.

Soit $d$ la droite de vecteur directeur $\vec{u}$ et $A$ un point de cette droite.
\[\psset{unit=1cm,arrowsize=9pt}
\begin{pspicture}(-1,-.6)(6,3)
  \psplot{-1}{6}{.5 x mul}
  \psline[linewidth=3pt,linecolor=green]{->}(0,0)(4,2)
  \rput(0,0){$\tm$}\rput(0,.3){$A$}\rput(4,2){$\tm$}\rput(4,2.3){$M$}
  \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=blue]{->}(0,0)(2,1)\rput(1.1,0.9){\blue$\V{u}$}
\end{pspicture}\]

La droite $d$ est l'ensemble des points $M(x;y)$ tels que, $\V{AM}$ et $\vec{u}$ colinéaires, c'est-à-dire tels que ces vecteurs sont proportionnels: il existe un réel $t$ tel que $\V{AM}=t\vec{u}$.
Cette écriture est la représentation paramétrique de la droite, $t$ étant le paramètre. On peut écrire aussi cette représentation avec des coordonnées,

Définition
Soit $d$ une droite passant par $A\lp x_A;y_A\rp$ et de vecteur directeur $\vec{u}(a;b)$.
On appelle représentation paramétrique de $d$,
\[\bgar{ll}&{\blue\V{AM}}=t{\red\vec{u}}\ , \ t\in\R\\[.8em]
\iff&\la\bgar{rcl}
{\blue x-x_A}&=&t{\red a}\\
{\blue y-y_A}&=&t{\red b}\enar\right. \ , \ t\in\R\\[1.6em]
\iff&\la\bgar{rcl}
x&=&x_A+ta\\
y&=&y_A+tb\enar\right. \ , \ t\in\R\\
\enar\]



Exercices corrigés

Exercice 1
Soit la droite de représentation paramétrique
\[\la\bgar{rcl}
x&=&2+3t\\
y&=&1-5t\enar\right. \ , \ t\in\R\]

Donner un point et un vecteur directeur directeur de cette droite.


Exercice 2
Donner la représentation paramétrique de la droite passant par $A(5;7)$ et $B(-3;2)$.


Exercice 3
Donner une équation cartésienne de la droite de représentation paramétrique

\[\la\bgar{rcl}
x&=&2+3t\\
y&=&1-5t\enar\right. \ , \ t\in\R\]


Exercice 4
Les droites de représentations paramétriques
\[d_1:\la\bgar{rcl}
x&=&2+3t\\
y&=&1-5t\enar\right. \ , \ t\in\R\]

et
\[d_2:\la\bgar{rcl}
x&=&3+2t\\
y&=&-1-2t\enar\right. \ , \ t\in\R\]

sont-elles sécantes ?
Donner alors leur point d'intersection.



Voir aussi