Etude du prix du billet et de la recette dans une agence de voyage

Recette maximale


Un voyagiste veut faire une promotion sur le vol Paris-Londre. Le nombre de places disponibles est au maximum de 10200.


Le nombre $ p(x)$ de passagers intéressés est fonction du prix $ x$ , en euros, du billet : $ p(x)=10\,200 - 120 x$ .

Partie A. Etude du nombre de passagers.

  1. Calculer le nombre de passagers si le prix du billet est fixé à 65euros.


  2. Calculer le prix du billet en supposant que 7200 passagers sont intéressés.


  3. Que se passe-t-il si le billet est gratuit ? si le prix du billet est de 85euros ?


  4. Quel est le sens de variation de la fonction $ x\mapsto p(x)$ sur l'intervalle $ [0;85]$ ?


  5. Tracer la courbe représentative de la fonction $ p$ dans le plan rapporté à un repère orthonogonal (unités graphiques: 1cm pour 5euros en abscisse et 1cm pour 500 passagers en ordonnées).


    Retrouver graphiquement les résultats des questions 1. et 2.


Partie B. Etude de la recette.

  1. a. Montrer que la recette $ R(x)$ quand le billet vaut $ x$ euros est donné par :

    $\displaystyle R(x)=-120x^2+10\,200x\,.$

    b. Calculer la recette si le prix du billet est de 10euros, 42,50euros, 50euros et 60euros.


    On donne, ci-contre, la courbe représentative de la fonction $ R$ .


    a. Dresser le tableau de variation de la fonction $ R$ .


    b. Déterminer graphiquement le prix du billet permettant d'avoir une recette maximale, et calculer le nombre de passagers correspondant.

    \begin{pspicture}(-100,40)(5,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=20]{->}(0,0)(0,...
...}
\put(5,0.5){Prix du}
\put(5,0.){billet}
\put(5,-0.5){(euros)}
\end{pspicture}

Solution:


Partie A. Etude du nombre de passagers.


1. Si le prix du billet est fixé à 65euros, il y a $ p(65)=10\,200-120\times 65=2400$ passagers.


2. Si 7200 passagers sont intéressés, le prix $ x$ sera tel que $ p(x)=10\,200-120x=7200
\iff
-120x=7200-10\,200=-3000
\iff
x=\dfrac{-3000}{-120}=25
$ , soit un prix de 25 euros.


3. Si le billet est gratuit, c'est-à-dire vaut $ x=0$ euros, alors il y aura $ p(0)=10\,200$ personnes intéressées, c'est-à-dire le maximum de personnes.


Si le billet est à 85 euros, il y aura $ p(85)=10\,200-120\times 85=0$ personne intéressée.


4. La fonction $ p$ est une fonction affine dont le coefficient directeur est $ -120<0$ . La fonction $ p$ est donc décroissante sur l'intervalle $ [0;85]$.


5.


\begin{pspicture}(-100,2)(5,240)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=20]{->}(0,0)(0...
...(5,-0.5){(euros)}
\psline[linestyle=dashed](43,0)(43,216)(0,216)
\end{pspicture}
On retrouve graphiquement que:
  • pour un prix de 65 euros, environ 2200 personnes sont intéressées;
  • si 7200 passagers sont inéressés, le prix sera d'environ 25 euros.


Partie B. Etude de la recette.


1.
a) Si le prix du billet est $ x$ euros, alors il y aura $ p(x)$ passagers, soit une recette de

$\displaystyle R(x)=x\times p(x)=x\times (10\,200-120x)
=10\,200x-120x^2$

b) Si le prix du billet est de:
  • 10 euros, la recette est de $ R(10)=10\,200\times 10-120\times (10)^2=90\,000$ euros
  • 42,50 euros, la recette est de $ R(42,50)=10\,200\times 10-120\times (42,50)^2=5\,100$ euros
  • 50 euros, la recette est de $ R(50)=10\,200\times 42,50-120\times (50)^2=216\,750$ euros
  • 60 euros, la recette est de $ R(42,50)=10\,200\times 60-120\times (60)^2=180\,000$ euros

2.

a)
$ p(43)=10\,200-120\times 43=5040$


b) Graphiquement le prix du billet permettant d'avoir une recette maximale est d'environ 43 euros, pour une recette d'environ 216000 euros, et $ p(43)=10\,200-120\times 43=5040$ passagers.

\begin{pspicture}(-30,-1000)(100,11000)
\psline[arrowsize=6pt]{->}(0,0)(100,0)
...
...line[linestyle=dashed,arrowsize=5pt]{->}(0,7200)(25,7200)(25,0)
\end{pspicture}


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