Rentabilité et bénéfice maximal

Etude de fonction


Monsieur Dupré, PDG d'une société fabriquant du mobilier urbain, s'intéresse au bénéfice réalisé par sa société.

Il fabrique et vend, par semaine, $ x$ lots de mobilier.

Le coût unitaire de production, en euros, $ f(x)$ (coût de production pour un lot de mobilier) s'exprime en fonction du nombre de lots $ x$ par l'expression: $ f(x)=x+72$ .

A ce coût unitaire s'ajoute des frais de fonctionnement de l'usine de production s'élevant à 3952 euros par semaine, quelle que soit la quantité de lots produite.


1) Chaque lot étant vendu 200 euros, montrer que le bénéfice réalisé pour $ x$ lots produits et vendus est:

$\displaystyle B(x)=-x^2+128x-3952 = (x-52)(76-x)
$

Déterminer alors le nombre de lots que doit produire et fabriquer la société pour être rentable (pour avoir un bénéfice positif ...).


2) Montrer que $ B(x)=-(x-64)^2+144$ .

Etudier alors les variations de $ B$ sur $ [0;64]$ et sur $ [64;+\infty[$ . Dresser le tableau de variations de $ B$ .

Quel est le bénéfice maximal que peut espérer Monsieur Dupré ? Pour combien de lots fabriqués et vendus ?

Solution:


1) $ x$ lots produits et vendus rapportent $ 200 x$ euros. La production de ces $ x$ lots coûtent $ x\times f(x)=x(x+72)$ euros plus 3952 euros.

Ainsi, le bénéfice est $ B(x)=200x - \Big( x(x+72)+3952\Big)=-x^2+128x-3952$ .


Par ailleurs, $ (x-52)(76-x)=76x-x^2+52x-52\times 76=-x^2+128x-3952=B(x)$ .

Ainsi, le bénéfice pour $ x$ lots produits et vendus est $ B(x)=-x^2+128x-3952 = (x-52)(76-x)$ .

$\displaystyle \begin{tabular}[t]{\vert c\vert ccccccc\vert}\hline
$x$&$-\infty...
...\mid$}& $+$\ & \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}& $-$\ & \\ \hline
\end{tabular} $

La société est rentable lorsque le bénéfice est positif, soit donc lorsque le nombre de lots $ x$ produits et vendus est compris entre $ 52$ et $ 76$ lots.



2) $ -(x-64)^2+144=-(x^2-128x+64^2)+144=-x^2+128x-3952=B(x)$ .

Ainsi, pour tout $ x$ , $ B(x)=-(x-64)^2+144$ .




Soit $ a$ et $ b$ deux nombres quelconques de $ [0;64]$ tels que $ 0\leq a< b\leq 64$ ,


alors $ -64\leq a-64<b-64\leq 0$ ,

donc, $ 64^2\geq (a-64)^2>(b-64)^2\geq 0$ ,

d'où, $ -64^2\leq -(a-64)^2<(b-64)^2\leq 0$ ,

soit, $ -64^2+144\leq f(a)<f(b)\leq 144$


donc, $ f$ est croissante sur $ [0;64]$ .

Soit $ a$ et $ b$ deux nombres quelconques de $ [64;+\infty]$ tels que $ 64\leq a< b$ ,


alors $ 0\leq a-64<b-64$ ,

donc, $ 0\leq (a-64)^2<(b-64)^2$ ,

d'où, $ 0\geq -(a-64)^2>(b-64)^2$ ,

soit, $ 144\geq f(a)>f(b)$


donc, $ f$ est décroissante sur $ [64;+\infty[$ .




$\displaystyle \begin{tabular}{\vert c\vert ccccc\vert}\hline
$x$\ & $0$\ & & $...
...row$}& &\Large {$\searrow$}& \\
\par
& $-3952$\ & &&&\\ \hline
\end{tabular} $

Le bénéfice maximum que peut espérer M. Duspré est de $ 144$ euros, pour $ 64$ lots produits et vendus.

(remarque: pour $ x=64$ lots la société est bien rentable, cf. question 1)).



Autres ressources