Rentabilité et bénéfice maximal

Etude de fonction

Exercice corrigé: Etude de fonction - Etude de la rentabilité et bénéfice maximal d’une usine


Monsieur Dupré, PDG d'une société fabriquant du mobilier urbain, s'intéresse au bénéfice réalisé par sa société.
Il fabrique et vend, par semaine, $x$ lots de mobilier.
Le coût unitaire de production, en euros, $f(x)$ (coût de production pour un lot de mobilier) s'exprime en fonction du nombre de lots $x$ par l'expression: $f(x)=x+72$.
A ce coût unitaire s'ajoute des frais de fonctionnement de l'usine de production s'élevant à 3 952 euros par semaine, quelle que soit la quantité de lots produite.
  1. Chaque lot est vendu 200 euros. Montrer que le bénéfice réalisé pour $x$ lots produits et vendus est:
    \[ B(x)=-x^2+128x-3952\]


  2. Montrer que pour tout nombre réel $x$, on a $B(x)= (x-52)(76-x)$. Déterminer alors le nombre de lots que doit produire et fabriquer la société pour être rentable (pour avoir un bénéfice positif …).
  3. Montrer que $B(x)=-(x-64)^2+144$.
    Etudier alors les variations de $B$ sur $[0;64]$.
    On admet pour la suite que la fonction $B$ est décroissante sur $[64;+\infty[$.
    Dresser le tableau de variations de $B$.
  4. Quel est le bénéfice maximal que peut espérer Monsieur Dupré ? Pour combien de lots fabriqués et vendus ?

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