Généralité sur une fonction

Vocabulaire, graphique et calculs algébriques


On considère la fonction f dont la représentation graphique est donnée ci-dessous.
Les réponses seront données avec la précision permise par le graphique.
  1. Déterminer l'ensemble de définition $ D_f$ de $f$ .
  2. Déterminer les images des nombres $ -1$ , 0 et $ 3$.
  3. Déterminer les antécédents de $1$ et $-2$.
  4. Dresser le tableau de variations de $f$.
  5. Résoudre graphiquement l'équation $f(x)=2$.
  6. Soit $g$ la fonction définie sur $[-2;4]$ par
    $\displaystyle g(x)=-2x^2+4x+1\,.$

    a. Montrer que pour tout $ x\in[-2;4]$ ,
    $\displaystyle g(x)=-2(x-1)^2+3\,.$
    b. Etudier le sens de variation de $g$ sur l'intervalle $[-2;1]$.

    On admettra par la suite que la fonction $g$ est décroissante sur l'intervalle $[1;4]$.
    Dresser le tableau de variation de $g$.

  7. Compléter le tableau de valeurs:
    $\displaystyle \begin{tabular}{*7{\vert p{0.8cm}}\vert}\hline
$x$\ & $-1$\ & $0...
...3$\ \\ \hline
$g(x)$\rule[-0.4cm]{0.cm}{1.2cm}
&&&&&\\ \hline
\end{tabular}$
  8. Tracer sur le graphique ci-contre l'allure de la courbe $ \mathcal{C}_g$, représentative de la fonction $g$.

\begin{pspicture}(-2.4,-3.5)(5,4.5)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-2.5,0)(4.8,0)...
...2,3.45)(1,1.5)
(2,0.5)(2.5,-1.5)(2.8,-2.8)(3,-3)(3.2,-2.8)(4,2)
\end{pspicture}

Solution:


  1. $ D_f=[-1.5;4]$ .

  2. $ f(-1)\simeq2$ ; $ f(0)\simeq 3,5$ ; $ f(3)\simeq -3$ .

  3. Les antécédents de $ 1$ sont approximativement $ -1,2$ , $ 1,5$ et $ 3,9$ .

    Les antécédents de $ -2$ sont approximativement $ -1,5$ , $ 2,6$ et $ 3,5$ .

  4. Le tableau de variations de $ f$ est:

    $\displaystyle \begin{tabular}{\vert c\vert ccccccc\vert}\hline
$x$\ & $-1,5$\ ...
...psline{->}(-0.5,-0.2)(0.3,0.5) &
\\
&$-2$&&&&$-3$&&\\ \hline
\end{tabular} $


  5. L'équation $ f(x)=2$ admet trois solutions: $ x=-1$ , $ x\simeq 0,7$ et $ x=4$ .

  6. Soit $ g$ la fonction définie sur $ [-2;4]$ par

    $\displaystyle g(x)=-2x^2+4x+1\,.$

    a.
    Pour tout $ x\in[-2;4]$ ,

    \begin{displaymath}\begin{array}{ll}
-2(x-1)^2+3
&=-2(x^2-2x+1)+3\\
&=-2x^2+4x+1\\
&=g(x)\,.
\end{array}\end{displaymath}


\begin{pspicture}(-2.4,-3.5)(5,4.5)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-2.5,0)(4.8,0)...
... mul x mul 4 x mul add 1 add}
\rput(1.72,2.65){$\mathcal{C}_g$}
\end{pspicture}

b.
Soit $ a$ et $ b$ deux nombres réels quelconques de $ [-2;1]$ tels que $ -2\leq a<b\leq 1$

alors, $ -3\leq a-1< b-1\leq 0$

donc, en élevant au carré ces nombres négatifs: $ 9\geq (a-1)^2 > (b-1)^2 \geq 0$

puis, en multipliant par $ -2$ : $ -18\leq -2(a-1)^2<-2(b-1)^2\leq 0$

et donc, $ -15\leq -2(a-1)^2+3<-2(b-1)^2+3\leq 3$

c'est-à-dire $ -15\leq g(a)<g(b)\leq 3$ : la fonction $ g$ es croissante sur $ [-2;1]$

$\displaystyle \begin{tabular}{\vert c\vert ccccc\vert}\hline
$x$\ & $-2$\ && $...
...line{->}(-0.4,0.5)(0.3,-0.2)
&
\\
&$-15$&&&&$-15$\\ \hline
\end{tabular} $

$\displaystyle \begin{tabular}{*7{\vert p{0.8cm}}\vert}\hline
$x$\ & $-0,5$\ & ...
...\rule[-0.4cm]{0.cm}{1.2cm}
&$-1,5$&$1$&$3$&$1$&$-1,5$\\ \hline
\end{tabular}$

Voir graphique.


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