Fonctions

Variations des températures dans 2 villes


L'objet de ce problème est d'étudier l'évolution des températures relevées le premier jour de chaque mois, à midi, pendant un an dans deux villes A et B.

Partie A.

On ne demande aucune justification dans cette partie.

Le graphique suivant représente la fonction $ f$ donnant les températures relevées dans la ville A.

1. Donner l'ensemble de définition de la fonction $ f$ .
2. Résoudre graphiquement l'équation $ f(x)=5$ .

3. Résoudre graphiquement $ 5\leq f(x)\leq 15$ .
4. Dresser le tableau de variations de $ f$ .
5. Dresser le tableau de signe de $ f$ .

\begin{pspicture}(-1,-15)(15,50)
\psline[linewidth=0.6pt]{->}(-0.5,0)(13.4,0)
...
...-10)(3,0)(4,5)(5,10)(6,15)(7,25)(8,40)(9,15)(10,5)(11,0)(12,-5)
\end{pspicture}

Partie B.

Les variations de la fonction $ g$ donnant les températures dans la ville B sont résumées dans le tableau de variations ci-contre.

$\displaystyle \begin{tabular}{\vert c\vert ccccccc\vert}\hline
$x$&$1$&&$4$&&$9...
...&\Large {$\searrow$}&&\Large {$\nearrow$}&\\
&15&&&&0&&\\ \hline
\end{tabular}$

1. Tracer sur le graphique précédent une représentation possible de la fonction $ g$ .
2. En déduire la résolution graphique de l'inéquation $ f(x)\leq g(x)$ .
3. Que peut-on en déduire pour la comparaison des températures dans les villes A et B.

Solution:


Partie A.

1. L'ensemble de définition de $ f$ est $ \mathcal{D}_f=[1;12]$ .
2. $ f(x)=5$ pour $ x=4$ ou $ x=10$
3. $ 5\leq f(x)\leq 15$ pour $ x\in[4;6]\cup[9;10]$
4.

$\displaystyle \begin{tabular}{\vert c\vert ccccccc\vert}\hline
$x$\ & $1$\ && ...
...nearrow$} && \Large {$\searrow$}&\\
&&&$-10$&&&&$-5$\\ \hline
\end{tabular} $


$\displaystyle \begin{tabular}{\vert c\vert ccccccc\vert}\hline
$x$\ & $1$\ && ...
...-0.67em}\mid$}&$+$&\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}&$-$&\\ \hline
\end{tabular} $


Partie B.



2. $ f(x)\leq g(x)$ pour $ x\in[1;6,5]\cup[10,5;12]$


\begin{pspicture}(-1,-15)(15,50)
\psline[linewidth=0.6pt]{->}(-0.5,0)(13.4,0)
...
...s=true](1,15)(4,30)(9,0)(12,15)
\rput(12.5,17){$\mathcal{C}_g$}
\end{pspicture}

3. On peut en déduire que de mi-janvier à mi-juin et de mi-octobre à fin décembre les températures sont plus basses dans la ville $ A$ que dans la ville $ B$ .



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