Etude du signe d'une fonction

Rentabilité et bénéfice maximal


L'entreprise Motrélec fabrique des moteurs. On note la quantité de moteurs fabriqués chaque jour par l'entreprise.
 
Le coût de fabrication de moteurs, exprimé en euros, est donné par la fonction définie par l'expression


 
  1. Déterminer le montant des coût fixes, c'est-à-dire des coûts de fabrication lorsqu'aucun moteur n'est fabriqué.
     
  2. Déterminer le coût de fabrication quand l'entreprise produit 10 moteurs, puis 30 moteurs.
     
  3. Chaque moteur est vendu 24 euros. On admet que l'entreprise vend chaque jour tous les moteurs produits. On note la recette réalisée par la vente de moteurs.
     
    Exprimer en fonction de .
     
  4. Montrer que le bénéfice réalisé par la production et la vente de moteurs est donné par l'expression


  5. Montrer que pour tout nombre réel, .
     
    Déterminer alors les nombres de moteurs qui peuvent être fabriqués et vendus pour que l'entreprise soit rentable.

Solution:


  1. Le montant des coûts fixes est de : euros.
  2. Pour 10 moteurs, le coût total est de euros, et de euros pour 30 moteurs.
  3. La recette réalisée s'exprime, en euros, par .
  4. Le bénéfice réalisé est la différence entre la recette et les coûts :

     
  5. En développant, on obtient:
     



    Le bénéfice est positif, donc la société est rentable, pour un nombre de moteurs produits et vendus compris entre 10 et 60.


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