Calcul intégral

Primitives

Chapitre précédent et prérequis: primitives, et calculs de primitives (exercices corrigés).

Calcul d'intégrales

Rappel de la propriété fondamentale, précisant le lien entre intégrale (et donc calcul d'aire) et primitive:

Théorème

Soit

une fonction continue sur un intervalle

, et $a\in I$ .
Alors la fonction

définie sur

par

$F(x)=\int_a^x f(t)\,dt$

est l'unique primitive de sur s'annulant en .

Exercice 1

Soit

la fonction définie par

$F(x)=\int_0^x \dfrac{1}{1+t^2}\,dt$

Déterminer le sens de variation de

Une conséquence directe de ce théorème est la formule fondamentale pour le calcul d'intégrales:

Corollaire

Soit

une fonction continue sur

une primitive de

, alors on a

$\bgar{ll} \dsp\int_a^bf(x)\,dx &=\Bigl[\,F(x)\,\Bigr]_a^b\\[1em] &=F(b)-F(a)\enar$

Exercice 2

Calculer les intégrales suivantes:
a) $\dsp I_1=\int_0^1x^2\,dx$

Une primitive de $f:x\mapsto x^2$ est $F:x\mapsto\dfrac13x^3$ et on a donc

$\bgar{ll}I_1&=\Bigl[\,F(x)\,\Bigr]_0^1 =F(1)-F(0)\\[1em] &=\dfrac13\tm1^3-\dfrac13\tm0^3\\[1em] &=\dfrac13\enar$

b) $\dsp I_2=\int_{-1}^3(5-2x)\,dx$

Une primitive de $f:x\mapsto 5-2x$ est $F:x\mapsto5x-x^2$ et on a donc

$\bgar{ll}I_2&=\Bigl[\,F(x)\,\Bigr]_{-1}^3 =F(3)-F(-1)\\[1em] &=\Bigl(5\tm3-3^2\Bigr)-\Bigl(5\tm(-1)-(-1)^2\Bigr)\\[1em] &=12\enar$

c) $\dsp I_3=\int_0^1e^{-2x}\,dx$

Une primitive de $f:x\mapsto e^{-2x}$ est $F:x\mapsto-\dfrac12e^{-2x}$ et on a donc

$\bgar{ll}I_3&=\Bigl[\,F(x)\,\Bigr]_0^1 =F(1)-F(0)\\[1em] &=\lp-\dfrac12e^{-2}\rp-\lp-\dfrac12e^0\rp\\[1em] &=\dfrac12\lp1-e^{-2}\rp\enar$

d) $\dsp I_4=\int_0^1\dfrac{e^x}{e^x+1}\,dx$

La fonction $f:x\mapsto \dfrac{e^x}{e^x+1}$ est de la forme $\dfrac{u'}{u}$ avec $u:x\mapsto e^x+1$ , et $F:x\mapsto\ln(u(x))=\ln\lp e^x+1\rp$ est donc une primitive de

et on a donc

$\bgar{ll}I_4&=\Bigl[\,F(x)\,\Bigr]_0^1 =F(1)-F(0)\\[1em] &=\ln\lp e^1+1\rp-\ln\lp e^0+1\rp\\[1em] &=\ln\lp e+1\rp-\ln2\\[1em] &=\ln\lp\dfrac{e+1}2\rp\enar$

e) $\dsp I_5=\int_0^1x^2\lp x^3-1\rp^5\,dx$

On peut penser à développer l'expression, encore faut-il savoir développer l'identité remarquable avec une puissance 5 (c'est alors la formule du binôme de Newton).
Plus facilement, la fonction $x\mapsto x^2\lp x^3-1\rp^5$ est de la forme

avec

et $F:x\mapsto\dfrac1{18}\lp x^3-1\rp^6$ est donc une primtive de

et on a donc

$\bgar{ll}I_5&=\Bigl[\,F(x)\,\Bigr]_0^1 =F(1)-F(0)\\[1em] &=\dfrac1{18}\lp1^3-1\rp^6-\dfrac1{18}\lp0^3-1\rp^6\\[1em] &=-\dfrac1{18}\enar$

f) $\dsp I_6=\int_0^1\frac{x}{(x^2-4)^2}\,dx$

La fonction $f:x\mapsto \dfrac{x}{\lp x^2-4\rp^2}$ est de la forme $\dfrac{u'}{u^2}$ avec

, et $F:x\mapsto-\dfrac12\tm\dfrac1u=-\dfrac12\tm\dfrac1{x^2-4}$ est donc une primitive de

et on a donc

$\bgar{ll}I_6&=\Bigl[\,F(x)\,\Bigr]_0^1 =F(1)-F(0)\\[1em] &=-\dfrac12\tm\dfrac1{1^2-4}-\lp-\dfrac12\tm\dfrac1{0^2-4}\rp\\[1em] &=\dfrac16-\dfrac18=\dfrac1{24}\enar$

g) $\dsp I_7=\int_0^{\frac12}\frac{3x}{\sqrt{1-x^2}}$

La fonction $f:x\mapsto\dfrac{3x}{\sqrt{1-x^2}}$ est de la forme $\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$ avec

, et $F:x\mapsto-3\sqrt{u}=-3\sqrt{1-x^2}$ est donc une primitive de

et on a donc

$\bgar{ll}I_6&=\Bigl[\,F(x)\,\Bigr]_0^{1/2} =F\lp\dfrac12\rp-F(0)\\[1em] &=-3\sqrt{1-\lp\dfrac12\rp^2}-\lp-3\sqrt{1-0^2}\rp\\[1.2em] &=-3\sqrt{\dfrac34}+3 =-\dfrac{3\sqrt3}2+3\\[1.2em] \enar$

Exercice 3

On considère la fonction

définie sur $\R_+^*$ par $f(x)=\dfrac{1}{x^2}\,e^{\frac{1}{x}}$ , et, pour tout entier $n\geqslant1$ , l'integrale $\dsp I_n=\int_1^nf(x)\,dx$ .

Dresser le tableau de variation de et tracer l'allure de sa courbe représentative.
Représenter sur ce graphique .

Les variations sont données par le signe de la dérivée. Ici $f=u\tm v$ avec …
L'intégrale est, une fois l'allure de la courbe tracée, l'aire du domaine sous la courbe entre les abscisses donées par les bornes de l'intégrale.
Calculer pour tout entier, puis déterminer $\dsp\lim_{n\to+\infty}I_n$

La fonction a intégrer est de la forme …

Pour la suite on rappelle que

Propriété

La valeur moyenne d'une fonction continue (ou continue par morceaux) définie sur

est donnée par

$\mu=\dfrac1{b-a}\int_a^bf(x)\,dx$

Exercice 4

Calculer la valeur moyenne des fonctions suivantes sur l'intervalle

donné:

a) $f:x\mapsto x^2$ sur

Une primitive de

est $F:x\mapsto\dfrac13x^3$ et donc

$\bgar{ll}\mu&=\dfrac1{1-(-1)}\dsp\int_{-1}^1f(x)dx\\[1.2em] &=\dfrac12\Bigl[\,F(x)\,\Bigr]_{-1}^1\\[1em] &=\dfrac12\Bigl(F(1)-F(-1)\Bigr)\\[1em] &=\dfrac12\lp\dfrac13\tm1^3-\dfrac13(-1)^3\rp\\[1em] &=\dfrac13\enar$

b) $f:x\mapsto x^3$ sur

Une primitive de

est $F:x\mapsto\dfrac14x^4$ et donc

Remarque: ce résultat était prévisible car la fonction cube est impaire, et donc, sa courbe est symétrique par rapport à l'origine du repère, et sa valeur moyenne sur un intervalle centré sur 0 est donc nulle.

c) $f:x\mapsto x\lp3x^2-1\rp^2$ sur

En développant,

est un polynôme de degré 5, donc facile à intégrer.
Plus facilement ici, on remarque que

est de la forme

avec

, et donc que $F:x\mapsto\dfrac1{18}\lp3x^2-1\rp^3$ est une primitive de

, et alors

$\bgar{ll}\mu&=\dfrac1{2-(-1)}\dsp\int_{-1}^2f(x)\,dx\\[1em] &=\dfrac13\Bigl[\,F(x)\,\Bigr]_{-1}^2\\[1em] &=\dfrac14\Bigl(F(2)-F(-1)\Bigr)\\[1em] &=\dfrac13\lp\dfrac1{18}\lp3\tm2^2-1\rp^3-\dfrac1{18}\lp3\tm(-1)^2-1\rp^3\rp\\[1em] &=24,5 \enar$

d) $f:x\mapsto \dfrac{3}{2x+1}$ sur

est sous la forme $\dfrac{u'}u$ avec

.
$F:x\mapsto\dfrac32\ln(2x+1)$ est une primitive de

et on a donc

$\bgar{ll}\mu=&\dfrac1{4-0}\dsp\int_0^4f(x)\,dx\\[1em] &=\dfrac14\Bigl[\,F(x)\,\Bigr]_0^4\\[1em] &=\dfrac14\Bigl(F(4)-F(0)\Bigr)\\[1em] &=\dfrac14\lp\dfrac32\ln(2\tm4+1)-\dfrac32\ln(2\tm0+1)\rp\\[1em] &=\dfrac38\ln9=\dfrac34\ln3 \enar$

e) $f:x\mapsto \dfrac{x^2}{\lp8-x^3\rp^2}$ sur

est de la forme $\dfrac{u'}{u^2}$ avec

.
$F:x\mapsto\dfrac13\tm\dfrac1{8-x^3}$ est donc une primitive de

, et on a alors

$\bgar{ll}\mu&=\dfrac1{1-0}\dsp\int_0^1f(x)\,dx\\[1em] &=\Bigl[\,F(x)\,\Bigr]_0^1\\[1em] &=F(1)-F(0)\\[1em] &=\dfrac13\tm\dfrac1{8-1^3}-\dfrac13\tm\dfrac1{8-0^3}\\[1em] &=\dfrac1{3\tm7\tm8}=\dfrac1{168} \enar$

f) $g(x)=e^{-3x+1}$ sur

est sous la forme

avec

et donc $F:x\mapsto -\dfrac13e^{-3x+1}$ est une primitive de

, et on a alors

$\bgar{ll}\mu&=\dfrac1{1-(-1)}\dsp\int_{-1}^1f(x)\,dx\\[1em] &=\dfrac12\Bigl[\,F(x)\,\Bigr]_{-1}^1\\[1em] &=\dfrac12\Bigl(F(1)-F(-1)\Bigr)\\[1em] &=\dfrac12\lp-\dfrac13e^{-2}+\dfrac13e^4\rp\\[1em] &=\dfrac16\lp e^4-e^{-2}\rp \enar$

Exercice 5

Dans un repère orthonormé, on considère le domaine $\mathcal{D}$ compris entre les courbes d'équations $y=\sqrt{x}$ et

.

Déterminer l'aire du domaine $\mathcal{D}$ .

(On pourra se rappeler que $\sqrt{x}=x^{1/2}$ , donc de la forme , afin de chercher une primitive)

$\psset{unit=3cm,arrowsize=5pt} \begin{pspicture}(-.15,-.15)(1.15,1.25) \nwc\f[1]{#1 0.5 exp}\nwc\g[1]{#1 #1 mul} \pscustom{\psplot[plotpoints=100]{0}{1}{\f{x}}\gsave \psplot[plotpoints=100]{1}{0}{\g{x}}\fill[fillstyle=solid,fillcolor=gray]\grestore} \psplot[plotpoints=100]{0}{1}{\f{x}} \psplot[plotpoints=100]{0}{1}{\g{x}} \psline{->}(-0.1,0)(1.25,0) \psline{->}(0,-0.1)(0,1.15) \psline[linestyle=dashed](0,1)(1,1)(1,0) \rput(-0.08,-0.08){$O$} \rput(1,-0.08){$1$}\rput(-0.08,1){$1$} \end{pspicture}$

Exercice 6

Calculer l'aire du domaine compris entre les courbes des fonctions

définies par

et $g(x)=-\dfrac12x^2+2$ .

$\psset{xunit=.7cm,yunit=.6cm,arrowsize=5pt,arrowsize=8pt} \begin{pspicture}(-2.5,-4.2)(2.6,2.6) \nwc\f[1]{#1 2 exp 4 sub} \nwc\g[1]{#1 2 exp -.5 mul 2 add} \pscustom{ \psplot{-2}{2}{\f{x}}\gsave \psplot{2}{-2}{\g{x}} \fill[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray] \grestore} % \psline{->}(-2.5,0)(2.7,0) \psline{->}(0,-4.3)(0,2.7) \psplot{-2}{2}{\f{x}} \psplot{2}{-2}{\g{x}} \end{pspicture}$

Exercice 7

Étude d'une suite (D'après Bac)
On considère la fonction

définie sur

par $f(x)=e^{-x^2}$ et on définit la suite

par:

$u_0=\int_0^1 f(x)\,dx$

et, pour tout entier $n\geqslant1$ ,

$u_n=\int_0^1 x^n\,f(x)\,dx$

1. Démontrer que, pour tout réel de l'intervalle , on a $\dfrac{1}{e}\leqslant f(x)\leqslant 1$ .
  
  Dresser le tableau de variation de , ou manipuler les encadrements à partir de $x\in[0;1]\iff 0\leqslant x\leqslant1$ .
2. En déduire que $\dfrac{1}{e}\leqslant u_0\leqslant 1$ .
  
  L'intégrale conserve l'ordre…
Calculer .

Dérivée de ?
1. Démontrer que, pour tout entier naturel , on a $0\leqslant u_n$ .
  
  Positivité de l'intégrale…
2. Etudier les variations de la suite .
  En déduire que la suite est convergente.
  
  Signe de $u_{n+1}-u_n$ ?
1. Démontrer que, pour tout entier naturel , on a $u_n\leqslant \dfrac{1}{n+1}$ .
  
  Utiliser la majoration de trouvée en 1. a), d'où $x^nf(x)\leqslant \dots$ , et enfin comme l'intégrale conserve l'ordre…
2. En déduire la limite de la suite .
  
  Encadrement de ? Gendarmes ?!

Exercice 8

D'après Bac
On considère la suite numérique

définie, pour tout entier naturel

non nul, par:

$J_n=\int_1^n e^{-t}\,\sqrt{1+t}\,dt\,.$

Démontrer que la suite est croissante.

Signe de $J_{n+1}-J_n$ ?
On définit la suite , pour tout entier naturel non nul, par:

$I_n=\dsp\int_1^n (t+1)\,e^{-t}\,dt$
1. Justifier que, pour tout $t\geqslant 1$ , on a $\sqrt{t+1}\leqslant t+1$ .
  
  On élève au carré ces nombres positifs…
2. En déduire que $J_n\leqslant I_n$ .
  
  en multipliant par $e^{-t}$ l'inégalité précédente, puis comme l'intégrale conserve l'ordre…
3. Déterminer deux réels et tels que la fonction $t\mapsto (at+b)e^{-t}$ soit une primitive de la fonction $t\mapsto (t+1)e^{-t}$ .
  Exprimer alors en fonction de .
  
  Dériver la fonction proposée et identifier les coefficients.
4. En déduire que la suite est majorée par un nombre réel.
  
  D'après les deux résultats précédents b) et c)…
5. Que peut-on en conclure pour la suite ?
  
  Suite croissante et majorée, questions 1) et 2.d)