@ccueil Colles

Calcul intégral




Primitives

Chapitre précédent et prérequis: .

Calcul d'intégrales


Rappel de la propriété fondamentale, précisant le lien entre intégrale (et donc calcul d'aire) et primitive:
Théorème
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$, et $a\in I$.
Alors la fonction $F$ définie sur $I$ par
\[F(x)=\int_a^x f(t)\,dt\]
est l'unique primitive de $f$ sur $I$ s'annulant en $a$.



Exercice 1
Soit $F$ la fonction définie par
\[F(x)=\int_0^x \dfrac{1}{1+t^2}\,dt\]
Déterminer le sens de variation de $F$.


Une conséquence directe de ce théorème est la formule fondamentale pour le calcul d'intégrales:
Corollaire
Soit $f$ une fonction continue sur $[a;b]$ et $F$ une primitive de $f$, alors on a
\[\bgar{ll}
\dsp\int_a^bf(x)\,dx
&=\Bigl[\,F(x)\,\Bigr]_a^b\\[1em]
&=F(b)-F(a)\enar\]



Exercice 2
Calculer les intégrales suivantes:
a) $\dsp I_1=\int_0^1x^2\,dx$

Une primitive de $f:x\mapsto x^2$ est $F:x\mapsto\dfrac13x^3$ et on a donc
\[\bgar{ll}I_1&=\Bigl[\,F(x)\,\Bigr]_0^1
=F(1)-F(0)\\[1em]
&=\dfrac13\tm1^3-\dfrac13\tm0^3\\[1em]
&=\dfrac13\enar\]


b) $\dsp I_2=\int_{-1}^3(5-2x)\,dx$

Une primitive de $f:x\mapsto 5-2x$ est $F:x\mapsto5x-x^2$ et on a donc
\[\bgar{ll}I_2&=\Bigl[\,F(x)\,\Bigr]_{-1}^3
=F(3)-F(-1)\\[1em]
&=\Bigl(5\tm3-3^2\Bigr)-\Bigl(5\tm(-1)-(-1)^2\Bigr)\\[1em]
&=12\enar\]



c) $\dsp I_3=\int_0^1e^{-2x}\,dx$

Une primitive de $f:x\mapsto e^{-2x}$ est $F:x\mapsto-\dfrac12e^{-2x}$ et on a donc
\[\bgar{ll}I_3&=\Bigl[\,F(x)\,\Bigr]_0^1
=F(1)-F(0)\\[1em]
&=\lp-\dfrac12e^{-2}\rp-\lp-\dfrac12e^0\rp\\[1em]
&=\dfrac12\lp1-e^{-2}\rp\enar\]



d) $\dsp I_4=\int_0^1\dfrac{e^x}{e^x+1}\,dx$

La fonction $f:x\mapsto \dfrac{e^x}{e^x+1}$ est de la forme $\dfrac{u'}{u}$ avec $u:x\mapsto e^x+1$, et $F:x\mapsto\ln(u(x))=\ln\lp e^x+1\rp$ est donc une primitive de $f$ et on a donc
\[\bgar{ll}I_4&=\Bigl[\,F(x)\,\Bigr]_0^1
=F(1)-F(0)\\[1em]
&=\ln\lp e^1+1\rp-\ln\lp e^0+1\rp\\[1em]
&=\ln\lp e+1\rp-\ln2\\[1em]
&=\ln\lp\dfrac{e+1}2\rp\enar\]



e) $\dsp I_5=\int_0^1x^2\lp x^3-1\rp^5\,dx$

On peut penser à développer l'expression, encore faut-il savoir développer l'identité remarquable avec une puissance 5 (c'est alors la formule du binôme de Newton).
Plus facilement, la fonction $x\mapsto x^2\lp x^3-1\rp^5$ est de la forme $u'u^n$ avec $u(x)=x^3-1$ et $F:x\mapsto\dfrac1{18}\lp x^3-1\rp^6$ est donc une primtive de $f$ et on a donc
\[\bgar{ll}I_5&=\Bigl[\,F(x)\,\Bigr]_0^1
=F(1)-F(0)\\[1em]
&=\dfrac1{18}\lp1^3-1\rp^6-\dfrac1{18}\lp0^3-1\rp^6\\[1em]
&=-\dfrac1{18}\enar\]



f) $\dsp I_6=\int_0^1\frac{x}{(x^2-4)^2}\,dx$

La fonction $f:x\mapsto \dfrac{x}{\lp x^2-4\rp^2}$ est de la forme $\dfrac{u'}{u^2}$ avec $u(x)=x^2-4$, et $F:x\mapsto-\dfrac12\tm\dfrac1u=-\dfrac12\tm\dfrac1{x^2-4}$ est donc une primitive de $f$ et on a donc
\[\bgar{ll}I_6&=\Bigl[\,F(x)\,\Bigr]_0^1
=F(1)-F(0)\\[1em]
&=-\dfrac12\tm\dfrac1{1^2-4}-\lp-\dfrac12\tm\dfrac1{0^2-4}\rp\\[1em]
&=\dfrac16-\dfrac18=\dfrac1{24}\enar\]



g) $\dsp I_7=\int_0^{\frac12}\frac{3x}{\sqrt{1-x^2}}$

La fonction $f:x\mapsto\dfrac{3x}{\sqrt{1-x^2}}$ est de la forme $\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$ avec $u(x)=1-x^2$, et $F:x\mapsto-3\sqrt{u}=-3\sqrt{1-x^2}$ est donc une primitive de $f$ et on a donc
\[\bgar{ll}I_6&=\Bigl[\,F(x)\,\Bigr]_0^{1/2}
=F\lp\dfrac12\rp-F(0)\\[1em]
&=-3\sqrt{1-\lp\dfrac12\rp^2}-\lp-3\sqrt{1-0^2}\rp\\[1.2em]
&=-3\sqrt{\dfrac34}+3
=-\dfrac{3\sqrt3}2+3\\[1.2em]
\enar\]



Exercice 3
On considère la fonction $f$ définie sur $\R_+^*$ par $f(x)=\dfrac{1}{x^2}\,e^{\frac{1}{x}}$, et, pour tout entier $n\geqslant1$, l'integrale $\dsp I_n=\int_1^nf(x)\,dx$.
  1. Dresser le tableau de variation de $f$ et tracer l'allure de sa courbe représentative.
    Représenter sur ce graphique $I_n$.
    Les variations sont données par le signe de la dérivée. Ici $f=u\tm v$ avec $v=e^w$
    L'intégrale est, une fois l'allure de la courbe tracée, l'aire du domaine sous la courbe entre les abscisses donées par les bornes de l'intégrale.


  2. Calculer $I_n$ pour tout entier, puis déterminer $\dsp\lim_{n\to+\infty}I_n$
    La fonction $f$ a intégrer est de la forme $u'e^u$



Pour la suite on rappelle que
Propriété
La valeur moyenne d'une fonction continue (ou continue par morceaux) définie sur $[a;b]$ est donnée par
\[\mu=\dfrac1{b-a}\int_a^bf(x)\,dx\]

Exercice 4
Calculer la valeur moyenne des fonctions suivantes sur l'intervalle $I$ donné:

a) $f:x\mapsto x^2$ sur $I=[-1;1]$

Une primitive de $f$ est $F:x\mapsto\dfrac13x^3$ et donc
\[\bgar{ll}\mu&=\dfrac1{1-(-1)}\dsp\int_{-1}^1f(x)dx\\[1.2em]
&=\dfrac12\Bigl[\,F(x)\,\Bigr]_{-1}^1\\[1em]
&=\dfrac12\Bigl(F(1)-F(-1)\Bigr)\\[1em]
&=\dfrac12\lp\dfrac13\tm1^3-\dfrac13(-1)^3\rp\\[1em]
&=\dfrac13\enar\]


b) $f:x\mapsto x^3$ sur $I=[-1;1]$

Une primitive de $f$ est $F:x\mapsto\dfrac14x^4$ et donc
\[\bgar{ll}\mu&=\dfrac1{1-(-1)}\dsp\int_{-1}^1f(x)dx\\[1.2em]
&=\dfrac12\Bigl[\,F(x)\,\Bigr]_{-1}^1\\[1em]
&=\dfrac12\Bigl(F(1)-F(-1)\Bigr)\\[1em]
&=\dfrac12\lp\dfrac14\tm1^4-\dfrac13(-1)^4\rp\\[1em]
&=0\enar\]

Remarque: ce résultat était prévisible car la fonction cube est impaire, et donc, sa courbe est symétrique par rapport à l'origine du repère, et sa valeur moyenne sur un intervalle centré sur 0 est donc nulle.



c) $f:x\mapsto x\lp3x^2-1\rp^2$ sur $I=[-1;2]$

En développant, $f$ est un polynôme de degré 5, donc facile à intégrer.
Plus facilement ici, on remarque que $f$ est de la forme $u'u^2$ avec $u(x)=3x^2-1$, et donc que $F:x\mapsto\dfrac1{18}\lp3x^2-1\rp^3$ est une primitive de $f$, et alors
\[\bgar{ll}\mu&=\dfrac1{2-(-1)}\dsp\int_{-1}^2f(x)\,dx\\[1em]
&=\dfrac13\Bigl[\,F(x)\,\Bigr]_{-1}^2\\[1em]
&=\dfrac14\Bigl(F(2)-F(-1)\Bigr)\\[1em]
&=\dfrac13\lp\dfrac1{18}\lp3\tm2^2-1\rp^3-\dfrac1{18}\lp3\tm(-1)^2-1\rp^3\rp\\[1em]
&=24,5
\enar\]


d) $f:x\mapsto \dfrac{3}{2x+1}$ sur $I=[0;4]$

$f$ est sous la forme $\dfrac{u'}u$ avec $u(x)=2x+1$.
$F:x\mapsto\dfrac32\ln(2x+1)$ est une primitive de $f$ et on a donc
\[\bgar{ll}\mu=&\dfrac1{4-0}\dsp\int_0^4f(x)\,dx\\[1em]
&=\dfrac14\Bigl[\,F(x)\,\Bigr]_0^4\\[1em]
&=\dfrac14\Bigl(F(4)-F(0)\Bigr)\\[1em]
&=\dfrac14\lp\dfrac32\ln(2\tm4+1)-\dfrac32\ln(2\tm0+1)\rp\\[1em]
&=\dfrac38\ln9=\dfrac34\ln3
\enar\]



e) $f:x\mapsto \dfrac{x^2}{\lp8-x^3\rp^2}$ sur $I=[0;1]$

$f$ est de la forme $\dfrac{u'}{u^2}$ avec $u(x)=8-x^3$.
$F:x\mapsto\dfrac13\tm\dfrac1{8-x^3}$ est donc une primitive de $f$, et on a alors
\[\bgar{ll}\mu&=\dfrac1{1-0}\dsp\int_0^1f(x)\,dx\\[1em]
&=\Bigl[\,F(x)\,\Bigr]_0^1\\[1em]
&=F(1)-F(0)\\[1em]
&=\dfrac13\tm\dfrac1{8-1^3}-\dfrac13\tm\dfrac1{8-0^3}\\[1em]
&=\dfrac1{3\tm7\tm8}=\dfrac1{168}
\enar\]


f) $g(x)=e^{-3x+1}$ sur $I=[-1;1]$.

$f$ est sous la forme $u'e^u$ avec $u(x)=-3x+1$ et donc $F:x\mapsto -\dfrac13e^{-3x+1}$ est une primitive de $f$, et on a alors
\[\bgar{ll}\mu&=\dfrac1{1-(-1)}\dsp\int_{-1}^1f(x)\,dx\\[1em]
&=\dfrac12\Bigl[\,F(x)\,\Bigr]_{-1}^1\\[1em]
&=\dfrac12\Bigl(F(1)-F(-1)\Bigr)\\[1em]
&=\dfrac12\lp-\dfrac13e^{-2}+\dfrac13e^4\rp\\[1em]
&=\dfrac16\lp e^4-e^{-2}\rp
\enar\]



Exercice 5
Dans un repère orthonormé, on considère le domaine $\mathcal{D}$ compris entre les courbes d'équations $y=\sqrt{x}$ et $y=x^2$.


Déterminer l'aire du domaine $\mathcal{D}$.


(On pourra se rappeler que $\sqrt{x}=x^{1/2}$, donc de la forme $x^n$, afin de chercher une primitive)
\[\psset{unit=3cm,arrowsize=5pt}
\begin{pspicture}(-.15,-.15)(1.15,1.25)
  \nwc\f[1]{#1 0.5 exp}\nwc\g[1]{#1 #1 mul}
  \pscustom{\psplot[plotpoints=100]{0}{1}{\f{x}}\gsave
    \psplot[plotpoints=100]{1}{0}{\g{x}}\fill[fillstyle=solid,fillcolor=gray]\grestore}
  \psplot[plotpoints=100]{0}{1}{\f{x}}
  \psplot[plotpoints=100]{0}{1}{\g{x}}
  \psline{->}(-0.1,0)(1.25,0)
  \psline{->}(0,-0.1)(0,1.15)
  \psline[linestyle=dashed](0,1)(1,1)(1,0)
  \rput(-0.08,-0.08){$O$}
  \rput(1,-0.08){$1$}\rput(-0.08,1){$1$}
\end{pspicture}\]



Exercice 6
Calculer l'aire du domaine compris entre les courbes des fonctions $f$ et $g$ définies par $f(x)=x^2-4$ et $g(x)=-\dfrac12x^2+2$.
\[\psset{xunit=.7cm,yunit=.6cm,arrowsize=5pt,arrowsize=8pt}
\begin{pspicture}(-2.5,-4.2)(2.6,2.6)
  \nwc\f[1]{#1 2 exp 4 sub}
  \nwc\g[1]{#1 2 exp -.5 mul 2 add}
  \pscustom{
    \psplot{-2}{2}{\f{x}}\gsave
    \psplot{2}{-2}{\g{x}}
    \fill[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]
    \grestore}
  %
  \psline{->}(-2.5,0)(2.7,0)
  \psline{->}(0,-4.3)(0,2.7)
  \psplot{-2}{2}{\f{x}}
  \psplot{2}{-2}{\g{x}}
\end{pspicture}\]



Exercice 7
Étude d'une suite (D'après Bac)
On considère la fonction $f$ définie sur $[0;1]$ par $f(x)=e^{-x^2}$ et on définit la suite $(u_n)$ par:
\[u_0=\int_0^1 f(x)\,dx\]

et, pour tout entier $n\geqslant1$,
\[u_n=\int_0^1 x^n\,f(x)\,dx\]

    1. Démontrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0;1]$, on a $\dfrac{1}{e}\leqslant f(x)\leqslant 1$.
      Dresser le tableau de variation de $f$, ou manipuler les encadrements à partir de $x\in[0;1]\iff 0\leqslant x\leqslant1$.

    2. En déduire que   $\dfrac{1}{e}\leqslant u_0\leqslant 1$.
      L'intégrale conserve l'ordre…

  1. Calculer $u_1$.
    Dérivée de $e^u$ ?
    1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, on a $0\leqslant u_n$.
      Positivité de l'intégrale…

    2. Etudier les variations de la suite $(u_n)$.
      En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente.
      Signe de $u_{n+1}-u_n$ ?
    1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n\leqslant \dfrac{1}{n+1}$.
      Utiliser la majoration de $f(x)$ trouvée en 1. a), d'où $x^nf(x)\leqslant \dots$, et enfin comme l'intégrale conserve l'ordre…

    2. En déduire la limite de la suite $(u_n)$.
      Encadrement de $u_n$ ? Gendarmes ?!




Exercice 8
D'après Bac
On considère la suite numérique $(J_n)$ définie, pour tout entier naturel $n$ non nul, par:
\[ J_n=\int_1^n e^{-t}\,\sqrt{1+t}\,dt\,.\]

  1. Démontrer que la suite $(J_n)$ est croissante.
    Signe de $J_{n+1}-J_n$ ?

  2. On définit la suite $(I_n)$, pour tout entier naturel $n$ non nul, par:
    \[I_n=\dsp\int_1^n (t+1)\,e^{-t}\,dt\]

    1. Justifier que, pour tout $t\geqslant 1$, on a $\sqrt{t+1}\leqslant t+1$.
      On élève au carré ces nombres positifs…

    2. En déduire que $J_n\leqslant I_n$.
      en multipliant par $e^{-t}$ l'inégalité précédente, puis comme l'intégrale conserve l'ordre…

    3. Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que la fonction $t\mapsto (at+b)e^{-t}$ soit une primitive de la fonction $t\mapsto (t+1)e^{-t}$.
      Exprimer alors $I_n$ en fonction de $n$.
      Dériver la fonction proposée et identifier les coefficients.

    4. En déduire que la suite $(J_n)$ est majorée par un nombre réel.
      D'après les deux résultats précédents b) et c)…

    5. Que peut-on en conclure pour la suite $(J_n)$ ?
      Suite croissante et majorée, questions 1) et 2.d)


Intégration par parties

Chapitre suivant:



Voir aussi: