Calcul approché d'aire et d'intégrale

Méthodes des rectangles et des trapèzes

Méthode des rectangles

Exercice 1:

Calculer l'aire exacte de la surface ci-dessus et comparer avec l'approximation donnée.

Solution

L'aire est celle du domaine compris entre les droites (verticales) d'équations

, et entre l'axe des abscisses et la courbe représentative de la fonction

définie par l'expression

Une primitive de cette fonction est donnée par l'expression

$F(x)=\dfrac14x^4-\dfrac23x^3+2x$ .

$\begin{array}{ll}\dsp\int_0^2 f(x)dx &=\dsp\int_0^2 \left( x^3-2x^2+2 \right) dx \\&=\Bigl[\,F(x)\,\Bigr]_0^2 \\&=F(2)-F(0)\enar$

avec

$\begin{array}{ll}F(2)&=\dfrac14\tm2^4-\dfrac23\tm2^3+2\tm2\\&=4-\dfrac{2^4}3+4=\dfrac{8}3\enar$

$F(0)=0$

ce qui nous donne donc l'aire

$\int_0^2 f(x)dx=\dfrac83\simeq2,666\dots$

Exercice 2:

Calculer l'aire approchée obtenue avec 1 seul rectangle, puis avec 2 rectangles, et enfin avec 3 rectangles.

Solution

Avec 1 rectangle
Comme , l'aire de la surface de la courbe peut être, grossièrement, approchée par l'aire du rectangle, soit :
$\mathcal{A}\simeq2\tm2=4$
Avec 2 rectangles
On découpe en 2 en abscisse, et on a 2 rectangles, de côté 1, et de hauteur , et , d'où l'approximation de l'aire sous la courbe par l'aire de ces deux rectangles,
$\begin{array}{ll}\mathcal{A}&\simeq f(0)\tm1+f(1)\tm1\\&\simeq2\tm1+1\tm1=3\enar$
Avec 3 rectangles
De même que précédemment, on découpe en 3 en abscisse et alors chacun des 3 rectangles ayant maintenant une base $b=\dfrac23$ , on obtient l'approximation
$\begin{array}{ll}\mathcal{A}&\simeq f(0)\tm\dfrac13+f\lp\dfrac13\rp\tm\dfrac13+f\lp\dfrac23\rp\tm\dfrac13\\ &\simeq2,81\enar$

Exercice 3:

Compléter le programme suivant pour qu'il calcule, et affiche, une valeur approchée de l'intégrale par la méthode des rectangles.

def f(x):
    return x**3-2*x**2+2

a=0
b=2
n=int(input("Saisir n: "))
dx= ... 
S=0
for k in range(n):
    x= ... 
    S=S+ f( ... ) * dx
print("Valeur approchée:")
print(S)

Exécuter ce programme pour différentes valeurs de n et observer la vitesse de convergence de cet algorithme.

Méthodes des trapèzes

Exercice 4:

Rappeler l'aire d'un trapèze et modifier le programme précédent pour calculer maintenant une valeur approchée de l'intégrale avec la méthode des trapèzes.
Comparer la vitesse de convergence des deux méthodes: quelle est l'erreur commise pour chaque méthode et n=10, n=100, n=1000, ... ?

Voir aussi: