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Nombres complexes



Le plan complexe


Théorème
Il existe un ensemble noté $\C$, appelé ensemble des nombres complexes, qui possède les propriétés suivantes:
  • $\C$ contient l'ensemble des nombres réels: $\R\subset\C$
  • il existe un nombre complexe, noté $i$ tel que $i^2=-1$.
  • tout nombre complexe $z$ s'écrit de manière unique sous la forme $z=x+iy$, où $x$ et $y$ sont des nombres réels.


Exemples:
  • $z=3+2i \in\C$
    on a bien $z=x+iy$ avec $x=3$ et $y=2$

  • $z_2=-5\in\R$, donc $z_2\in\C$
    Ici $z=x+iy$ avec $x=-5$ et $y=0$

  • $z_3=\sqrt7-6i\in\C$
    Ici $z=x+iy$ avec $x=\sqrt7$ et $y=-6$


Définition
L'écriture $z=x+iy$, où $x\in\R$ et $y\in\R$ s'appelle la forme algébrique du nombre complexe $z$.
$x$ est la partie réelle de $z$, notée $\Re(z)$, et $y$ est la partie imaginaire de $z$, notée $\Im(z)$.

Si $y=0$, alors $z$ est réel.

Si $x=0$, alors $z=iy$ est dit imaginaire pur.



Exemples:
  • Pour $z=3-2i$,
    on a $z=x+iy$ avec $\Re e(z)=x=3$   et   $\Im m(z)=y=-2$.

  • Pour $z=-1+i$,
    on a $z=x+iy$ avec $\Re e(z)=x=-1$   et   $\Im m(z)=y=1$.

  • Pour $z=\dfrac12 i$,
    on a $z=x+iy$ avec $\Re e(z)=x=0$   et   $\Im m(z)=y=\dfrac12$;
    $z$ est de plus imaginaire pur.

  • Pour $z=12$,
    on a $z=x+iy$ avec $\Re e(z)=x=12$   et   $\Im m(z)=y=0$;
    $z$ est (simplement) réel.


Définition: Plan complexe
Le plan est rapporté à un repère orthonormal $(O;\vec{u},\vec{v})$ direct.
À tout nombre complexe $z=x+iy$, avec $x\in\R$, $y\in\R$, on associe le point $M$ de coordonnées $M(x;y)$.
On dit que $z$ est l'affixe du point $M$, ou du vecteur $\V{OM}$; et que le point $M$, ou le vecteur $\V{OM}$ est l'image de $z$.

pspicture\put(2.3,2){$M(z=x+iy)$}\put(2.4,-0.4){$x$}\put(-0.4,1.8){$y$}




Définition
Les nombres réels sont les affixes des points de l'axe des abscisses, que l'on appelle donc axe réel.
Un nombre complexe dont la partie réelle est nulle, $z=0+iy=iy$ est appelé un nombre imaginaire pur. Les images de ces nombres sont les points de l'axe des ordonnées, que l'on appelle donc axe imaginaire (pur).



Exercice 1
Placer les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives: $z_A=-1-2i$, $z_B=4-i$ et $z_C=\sqrt{2}+\dfrac{3}{2}i$.
Déterminer les longueurs $OA$, $OB$, $OC$ et $AB$.


Opérations sur les nombres complexes

Opérations numériques et algébriques


Les règles de calcul algébrique sur les nombres réels se prolongent aux nombres complexes, en ajoutant la propriété $i^2=-1$.
Exercice 2
Exprimer sous forme algébrique les nombres complexes:
  1. $(2+3i)+(-1+6i)$
    $-1+9i$
  2. $(5+i)-(3-2i)$
    $2+3i$
  3. $(1+i)(3-2i)$
    On développe (double disritbutivité), et on utilise $i^2=-1$,
    \[\bgar{ll}(1+i)(3-2i)&=3-2i+3i-2i^2\\&=3+i-2(-1)\\&=5+i\enar\]
  4. $(4+i)(-5+3i)$
    De même que le calcul précédent,
    \[\bgar{ll}(4+i)(-5+3i)&=-20+12i-5i+3i^2\\&=-20+7i+3(-1)\\&=-23+7i\enar\]
  5. $(2-i)^2$
  6. $(x+iy)(x'+iy')$
    On développe (à nouveau double distributivité), mais il s'agit cette fois d'un calcul algébrique général:

    \[\bgar{ll}(x+iy)(x'+iy')&=xx'+ixy'+iyx'+i^2yy'\\&=xx'+i\lp xy'+ x'y\rp -yy'\\&=xx'-yy'+i\lp xy'+ x'y\rp\enar\]
  7. $(x+iy)^2$
    À nouveau l'identité remarquable
    \[\bgar{ll}(x+iy)^2&=x^2+2ixy+\lp iy\rp^2\\&=x^2+2ixy+i^2y^2\\&=x^2-y^2+2ixy\enar\]
  8. $(2-3i)(2+3i)$
  9. $(a+ib)(a-ib)$
    La même identité remarquable que prcédemment, dans le cas algébrique général,
    \[\bgar{ll}(a+ib)(a-ib)&=a^2-\lp ib\rp^2\\&=a^2-i^2b^2\\&=a^2+b^2\enar\]



Exercice 3
On pose $j=-\dfrac12+i\dfrac{\sqrt3}2$.
Calculer $1+j+j^2$.


Opérations géométriques



Les opérations sur les vecteurs et leurs coordonnées cartésiennes réelles se formulent aussi pour leurs affixes complexes.
Propriété
  • Soit deux points $A$ et $B$ d'affixe $z_A$ et $z_B$, alors l'affixe du vecteur $\V{AB}$ est $z_b-z_A$.
    pspicture A(z_A);B(z_B);\V{AB}(z_B-z_A)
  • Le milieu $I$ du segment $[AB]$ a pour affixe $z_I=\dfrac{z_A+z_B}{2}$.
  • Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs d'affixe $z$ et $z'$, alors le vecteur $\vec{u}+\vec{v}$ a pour affixe $z+z'$.
  • Si $k\in\R$, le vecteur $k\vec{u}$ a pour affixe $kz$.



Exercice 4
Les points $A$, $B$ et $C$ ont pour affixes respectives $-2+i$, $3+3i$, $1+\dfrac{11}{5}i$.
  1. Calculer les affixes des vecteurs $\V{AB}$ et $\V{AC}$.
  2. En déduire que les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.
  3. Placer les points $A$, $B$ et $C$.



Exercice 5
Les points $A$, $B$ et $C$ ont pour affixes respectives $\dsp 1+\frac{1}{2}i$, $\dsp \frac{3}{2}+2i$ et $\dsp -1-\frac{11}{2}i$.
Placer les points $A$, $B$ et $C$ dans le plan complexe, et montrer qu'ils sont alignés.



Exercice 6
On considère dans le plan complexe les points $A$, $B$, $C$ et $D$ d'affixe $z_A=3+i$, $z_B=2-2i$, $z_C=2i$ et $z_D=1+5i$.
  1. Faire une figure
  2. Montrer de deux façons différentes que $ABCD$ est un parallélogramme.



Voir aussi: