Nombres complexes
Le plan complexe
Théorème
Il existe un ensemble noté 
-
contient l'ensemble des nombres réels:
- il existe un nombre complexe, noté
tel que
.
- tout nombre complexe
s'écrit de manière unique sous la forme
, où
et
sont des nombres réels.
Exemples:
-
on a bienavec
et
-
, donc
Iciavec
et
-
Iciavec
et
Définition
L'écriture 









Si


Si


Exemples:
- Pour
,
on aavec
et
.
- Pour
,
on aavec
et
.
- Pour
,
on aavec
et
;
est de plus imaginaire pur.
- Pour
,
on aavec
et
;
est (simplement) réel.
Définition: Plan complexe
Le plan est rapporté à un repère orthonormal 
À tout nombre complexe





On dit que







Définition
Les nombres réels sont les affixes des points de l'axe des
abscisses, que l'on appelle donc axe réel.
Un nombre complexe dont la partie réelle est nulle,

Exercice 1
Placer les points 





Déterminer les longueurs




Opérations sur les nombres complexes
Opérations numériques et algébriques
Les règles de calcul algébrique sur les nombres réels se prolongent aux nombres complexes, en ajoutant la propriété

Exercice 2
Exprimer sous forme algébrique les nombres complexes:
-
-
-
-
De même que le calcul précédent,
-
-
On développe (à nouveau double distributivité), mais il s'agit cette fois d'un calcul algébrique général:
-
À nouveau l'identité remarquable -
-
La même identité remarquable que prcédemment, dans le cas algébrique général,
Exercice 3
On pose 
Calculer

Opérations géométriques
Les opérations sur les vecteurs et leurs coordonnées cartésiennes réelles se formulent aussi pour leurs affixes complexes.
Propriété
- Soit deux points
et
d'affixe
et
, alors l'affixe du vecteur
est
.
- Le milieu
du segment
a pour affixe
.
- Soit
et
deux vecteurs d'affixe
et
, alors le vecteur
a pour affixe
.
- Si
, le vecteur
a pour affixe
.
Exercice 4
Les points 





- Calculer les affixes des vecteurs
et
.
- En déduire que les points
,
et
sont alignés.
- Placer les points
,
et
.
Exercice 5
Les points 





Placer les points



Exercice 6
On considère dans le plan complexe les points 







- Faire une figure
- Montrer de deux façons différentes que
est un parallélogramme.
Conjugué d'un nombre complexe
Voir aussi: