Source Latex
du cours de mathématiques
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pdfauthor={Yoann Morel},
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pdfkeywords={Mathématiques, nombres complexes}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}
\newcounter{nex}\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\newlength{\ldef}
\nwc{\bgdef}[1]{
\settowidth{\ldef}{Définition \ }
\noindent
\paragraph{Définition}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ldef-1em}{\it #1}\enmp
}
\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
\settowidth{\ltheo}{Théorème \ }
\noindent
\paragraph{Théorème}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}
\bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-1em}{\it #1}\enmp
}
\newlength{\lprop}
\nwc{\bgprop}[1]{
\settowidth{\lprop}{Propriété}
\noindent
\paragraph{Propriété}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp
}
\nwc{\bgcorol}[1]{
\settowidth{\lprop}{Corollaire}
\noindent
\paragraph{Propriété}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp
}
\nwc{\bgproof}[1]{
\vspd\noindent
\ul{Démonstration:} #1
\hfill$\square$
}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
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\title{Nombres complexes}
\author{Y. Morel}
\date{}
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\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/Lycee/Common/Nombres-complexes/}}
\cfoot{}
\rfoot{Nombres complexes - \thepage/\pageref{LastPage}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\maketitle
\hrulefill
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\tableofcontents
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\bigskip
\hrulefill
\vspace{2em}
\hfill\href{https://xymaths.fr/Lycee/Common/Nombres-complexes/}{Version en ligne (avec exercices corrigés)}
\clearpage
\section*{Introduction - Résolution d'équations algébriques}
\addcontentsline{toc}{section}{Introduction - Résolution d'équations algébriques}
Soit le trinôme du second degré
$\dsp P(x)=\frac{1}{2}x^2+3x+5$. \vspd
Le discriminant de $P$ est : $\Delta=9-10=-1<0$, donc
$P$ n'a pas de racine \ul{réelle}.
\vspd
{\bf Imaginons} un instant que l'on puisse néanmoins écrire
$\sqrt{\Delta}=\sqrt{-1}$, et donc les formules donnant les
racines de $P$ (qui ne sont donc sûrement pas réelles !):
\[ x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=-3+\sqrt{-1}\ ;\ \
x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=-3-\sqrt{-1}
\]
Alors,
\[ \bgar{ll}
P(x_1)=P(-3+\sqrt{-1})
&\dsp=\frac{1}{2}\Big(-3+\sqrt{-1}\Big)^2+3\Big(-3+\sqrt{-1}\Big)+5 \vspd\\
&\dsp=\frac{1}{2}\Big( 9 -6\sqrt{-1}+\lp\sqrt{-1}\rp^2\Big)
-9+3\sqrt{-1}+5 \vspd\\
&\dsp=\frac{1}{2}\Big(9-6\sqrt{-1}+(-1)\Big)-4+3\sqrt{-1}
\hspace{1cm} \mbox{ (car $\sqrt{-1}^2=-1$ !)} \vspd\\
&=0
\enar\]
On calcule de même que $P(x_2)=0$, et ainsi, ce trinôme du second
degré admet bien deux racines distinctes,
mais celles-ci {\bf\ul{ne sont pas réelles}}.
\vspd
Le nombre \ul{$\sqrt{-1}$ n'existe pas}: ce n'est pas un nombre réel.
Cardan, mathématicien du XVIème siècle appelait ce type de nombre des
nombres "impossibles".
\vsp
Plus tard, Descartes leur donna le nom de nombres "imaginaires", qui
sont devenus aujourd'hui des
\textcolor{red}{\bf nombres complexes}.
\section{Le plan complexe}
\bgth{ {\it (admis)}
Il existe un ensemble noté $\C$, appelé
{\bf ensemble des nombres complexes}, qui possède les propriétés
suivantes:
\bgit
\item[$\bullet$] $\C$ contient l'ensemble des nombres réels:
$\R\subset\C$
\item[$\bullet$] il existe un nombre complexe, noté $i$ tel que
$i^2=-1$.
\item[$\bullet$] tout nombre complexe $z$ s'écrit de manière
{\bf unique}
sous la forme $z=x+iy$, où $x$ et $y$ sont des nombres réels.
\enit
}
\vspd\noindent
\ul{Exemples:} $z=3+2i \in\C$\ ;\ \
$z_2=-5\in\R$, donc $z_2\in\C$\ ;\ \
$z_3=\sqrt{7}-6i\in\C$\ ;\ \ \dots
\bgdef{
L'écriture $z=x+iy$, où $x\in\R$ et $y\in\R$ s'appelle la
{\bf forme algébrique} du nombre complexe $z$.
$x$ est la partie réelle de $z$, notée $\Re(z)$,
et $y$ est la partie imaginaire de $z$, notée $\Im(z)$.
\vsp
Si $y=0$, alors $z$ est réel ($\R\subset\C$)\\
Si $x=0$, $z$ est dit imaginaire pur.
}
\vspd\ul{Exemples:}
\bgit
\item[$\bullet$] $z=3-2i$,
$\Re(z)=3$ et $\Im(z)=-2$.
\item[$\bullet$] $z=-1+i$,
$\Re(z)=-1$ et $\Im(z)=1$.
\item[$\bullet$] $z=\dfrac12 i$,
$\Re(z)=0$ et $\Im(z)=\dfrac12$;
$z$ est imaginaire pur.
\item[$\bullet$] $z=12$,
$\Re(z)=12$ et $\Im(z)=0$;
$z$ est réel.
\enit
\vspd
D'après le premier théorème, on a alors:
\bgcorol{
Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont la même
partie réelle et la même partie imaginaire:
soit $z=x+iy$ et $z'=x'+iy'$, avec $x$, $y$, $x'$ et $y'$ quatre
nombres réels, alors,
\[ z=z' \Longleftrightarrow \Big( x=x' \ \mbox{ et }\ y=y' \Big)\]
}
\noindent
\bgmp{12cm}
\bgdef{ (Plan complexe)
Le plan est rapporté à un repère orthonormal $(O;\vec{u},\vec{v})$
direct.
A tout nombre complexe $z=x+iy$, $x\in\R$, $y\in\R$,
on associe le point $M$ de coordonnées $M(x;y)$.
On dit que $z$ est l'affixe du point $M$, ou du vecteur $\V{OM}$;
et que le point $M$, ou le vecteur $\V{OM}$ est l'image de $z$.
}
\enmp
\bgmp{6cm}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1.,-1)(4,3)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-0.5,0)(3.5,0)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-0.5)(0,3)
\psline[linewidth=1.4pt]{->}(0,0)(0,1)
\psline[linewidth=1.4pt]{->}(0,0)(1,0)
\psline[linewidth=1.2pt]{->}(0,0)(2.5,1.8)
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]{->}(2.5,0)(2.5,1.8)
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]{->}(0,1.8)(2.5,1.8)
\put(-0.4,-0.4){$O$}\put(0.3,-0.4){$\vec{u}$}\put(-0.4,0.3){$\vec{v}$}
\put(2.3,2){$M(z=x+iy)$}
\put(2.4,-0.4){$x$}\put(-0.4,1.8){$y$}
\end{pspicture}
\enmp
\bgdef{
Les nombres réels sont les affixes des points de l'axe des
abscisses, que l'on appelle donc {\bf axe réel}.
Un nombre complexe dont la partie réelle est nulle, $z=0+iy=iy$ est
appelé un nombre {\bf imaginaire pur}.
Les images de ces nombres sont les points de l'axe des ordonnées,
que l'on appelle donc {\bf axe imaginaire (pur)}.
}
\bgex
Placer les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives:
$z_A=-1-2i$, $z_B=4-i$ et $z_C=\sqrt{2}+\dfrac{3}{2}i$.
Déterminer les longueurs $OA$, $OB$ et $OC$ et $AB$.
\enex
\section{Opérations sur les nombres complexes}
\subsection{Opérations numériques et algébriques}
Les règles de calcul sur les nombres réels se prolongent aux nombres
complexes.
\bgex
Exprimer sous forme algébrique les nombres complexes:
\vspd
\noindent
$\bullet$\ $(2+3i)+(-1+6i)$
\hspace{0.5cm}
$\bullet$\ $(5+i)-(3-2i)$
\hspace{0.5cm}
$\bullet$\ $(1+i)(3-2i)$
\hspace{0.5cm}
$\bullet$\ $(4+i)(-5+3i)$
\vspd\noindent
$\bullet$\ $(2-i)^2$
\hspace{0.5cm}
$\bullet$\ $(x+iy)(x'+iy')$
\hspace{0.5cm}
$\bullet$\ $(x+iy)^2$
\hspace{0.5cm}
$\bullet$\ $(2-3i)(2+3i)$
\hspace{0.5cm}
$\bullet$\ $(a+ib)(a-ib)$
\enex
\bgex
On pose $j=-\dfrac12+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
Calculer $1+j+j^2$.
\enex
\subsection{Opérations géométriques}
\noindent
\bgmp{11cm}
\bgprop{
Soit $z_1=a+ib$ et $z_2=a'+ib'$ deux nombres complexes,
avec $a$, $b$, $a'$ et $b'$ quatre réels,
et $M$ et $N$ leur image respective dans le plan complexe.
Alors $z=z_1+z_2=(a+a')+i(b+b')$ a pour image le point $P$ tel que
$\V{OP}=\V{OM}+\V{ON}$.
\vspd
De même, le vecteur $\V{MN}=\V{ON}-\V{OM}$ a pour affixe le complexe
$z_{\V{MN}}=z_2-z_1$.
}
\enmp
\bgmp{6cm}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1.2,-1)(4,4)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-0.5,0)(4.9,0)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-0.5)(0,3.5)
\psline[linewidth=1.4pt]{->}(0,0)(0,0.5)
\psline[linewidth=1.4pt]{->}(0,0)(0.5,0)
\put(-0.4,-0.4){$O$}\put(0.2,-0.4){$\vec{u}$}\put(-0.4,0.2){$\vec{v}$}
\psline[linewidth=1.2pt]{->}(0,0)(1,1.8)\put(0.6,2){\footnotesize{$M(z_1)$}}
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]{->}(1,0)(1,1.8)
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]{->}(0,1.8)(1,1.8)
\put(0.9,-0.4){$a$}\put(-0.4,1.8){$b$}
\psline[linewidth=1.2pt]{->}(0,0)(3,.8)\put(3.1,.8){\footnotesize{$N(z_2)$}}
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]{->}(3,0)(3,.8)
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]{->}(0,.8)(3,.8)
\put(2.9,-0.4){$a'$}\put(-0.4,.8){$b'$}
\psline[linewidth=1.2pt]{->}(0,0)(4,2.6)
\put(3.3,2.8){\footnotesize{$P(z_1+z_2)$}}
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]{->}(1,1.8)(4,2.6)
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]{->}(3,0.8)(4,2.6)
\put(2.9,-0.4){$a'$}\put(-0.4,.8){$b'$}
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]{->}(4,0)(4,2.6)
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]{->}(0,2.6)(4,2.6)
\put(3.6,-0.4){$a\!+\!a'$}
\put(-0.9,2.5){$b\!+\!b'$}
\end{pspicture}
\enmp
\bgprop{
Soit deux points $A$ et $B$ d'affixe $z_A$ et $z_B$, alors
l'affixe du vecteur $\V{AB}$ est $z_b-z_A$.
Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs d'affixe $z$ et $z'$,
alors le vecteur $\vec{u}+\vec{v}$ a pour affixe
$z+z'$.
Si $k\in\R$, le vecteur $k\vec{u}$ a pour affixe $kz$.
Le milieu $z_I$ du milieu $I$ segment $[AB]$ est
$z_I=\dfrac{z_A+z_B}{2}$.
}
\bgex
Les points $A$, $B$ et $C$ ont pour affixes respectives
$-2+i$, $3+3i$, $\dsp 1+\frac{11}{5}i$.
\bgit
\item[a)] Calculer les affixes des vecteurs $\V{AB}$ et $\V{AC}$.
\item[b)] En déduire que les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.
\item[c)] Placer les points $A$, $B$ et $C$.
\enit
\enex
\bgex
Les points $A$, $B$ et $C$ ont pour affixes respectives
$\dsp 1+\frac{1}{2}i$, $\dsp \frac{3}{2}+2i$ et
$\dsp -1-\frac{11}{2}i$.
Placer les points $A$, $B$ et $C$ dans le plan complexe,
et montrer qu'ils sont alignés.
\enex
\bgex
On considère dans le plan complexe les points $A$, $B$, $C$ et $D$
d'affixe
$z_A=3+i$, $z_B=2-2i$, $z_C=2i$ et $z_D=1+5i$.
\bgit
\item[a)] Faire une figure
\item[b)] Montrer de deux façons différentes que $ABCD$ est un
parallélogramme.
\enit
\enex
\section{Conjugué d'un nombre complexe}
\bgdef{
Soit $z=x+iy$, $x\in\R$, $y\in\R$, un nombre complexe.
On appelle {\bf conjugué} de $z$, noté $\overline{z}$, le nombre complexe
$\overline{z}=x-iy$.
}
\bgprop{Dans le plan complexe, si le point $M$ a pour affixe $z$,
alors l'image $M'$ de $\overline{z}$ est le symétrique de $M$ par
rapport à l'axe des abscisses.
}
\vspd\noindent
\ul{Exemples:}
$\bullet\ z=3+2i$, alors $\overline{z}=3-2i$.
\hspace{1cm}
$\dsp\bullet\ \overline{3-\frac{1}{2}i}=3+\frac{1}{2}i$
\hspace{1cm}
$\overline{-5}=-5$
\hspace{1cm}
$\overline{3i}=-3i$
\bgprop{
\bgit
\item[$\bullet$] $\overline{\overline{z}}=z$
\qquad $\bullet$ $z\overline{z}=x^2+y^2$
\qquad $\bullet$ $\overline{z z'}=\overline{z}\overline{z'}$
\qquad $\bullet$ $\overline{z^n}=\overline{z}^n$ \vspd
\item[$\bullet$] $\overline{z+z'}=\overline{z}+\overline{z'}$ \vspd
\item[$\bullet$] si $z\not=0$, \
$\dsp\overline{\lp\frac{1}{z}\rp}=\frac{1}{\overline{z}}$
\qquad $\bullet$ si $z'\not=0$, \
$\dsp\overline{\lp\frac{z}{z'}\rp}=\frac{\overline{z}}{\overline{z'}}$ \vspt
\item[$\bullet$] $z+\overline{z}=2\Re(z)$
et donc, $z$ imaginaire pur $\Longleftrightarrow \Re(z)=0
\Longleftrightarrow z=-\overline{z}$ \vspt
\item[$\bullet$] $z-\overline{z}=2i\Im(z)$,
et donc, $z\in\R \Longleftrightarrow \Im(z)=0
\Longleftrightarrow z=\overline{z}$
\enit
}
\bgex
Soit les nombres complexes:
$\dsp z_1=\frac{3-i}{5+7i}$
et
$\dsp z_2=\frac{3+i}{5-7i}$ .
Vérifier que $z_1=\overline{z_2}$, et en déduire que $z_1+z_2$ est
réel et que $z_1-z_2$ est imaginaire pur.
\vsp
Calculer $z_1+z_2$ et $z_1-z_2$.
\enex
\bgex
Soit $P$ le polynôme défini sur $\C$ par :
$P(z)=z^3+z^2-4z+6$.
\vspd
\bgen[a)]
\item Montrer que pour tout complexe $z$,
\ $\overline{P(z)}=P(\overline{z})$.
\item Calculer $(1+i)^2$ puis $(1+i)^3$ et vérifier que $1+i$ est une racine de $P$, et en déduire une
autre racine complexe de $P$.
\enen
\enex
\bgex
Déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ du plan complexe
tels que $Z=z^2+\overline{z}$ soit un nombre réel
{\sl (on pourra poser $z=x+iy$, $x\in\R$, $y\in\R$,
et écrire $Z$ sous forme algébrique)}.
\enex
\bgex
Résoudre dans $\C$ les équations (écrire la solution sous forme algébrique):
a)\ \ $5\overline{z}=4-i$
\qquad
b)\ \ $(1+i)\overline{z}+1-i=0$
\qquad
c) \ \ $2\overline{z}+i=z+2$
\qquad
d)\ \ $3\overline{z}-2iz=5-3i$
\enex
\bgprop{ (Inverse d'un nombre complexe)\\
Tout nombre complexe non nul $z$ admet un inverse, noté
$\dsp\frac{1}{z}$.
}
%\clearpage
\vspd\noindent
\bgproof{
Soit $z=x+iy$ un nombre complexe non nul, c'est-à-dire $x\not=0$ et
$y\not=0$.
Alors,
$\dsp
\frac{1}{z}
=\frac{\overline{z}}{z\overline{z}}
=\frac{1}{x+iy}
=\frac{x-iy}{(x+iy)(x-iy)}
=\frac{x-iy}{x^2+y^2}
=\frac{x}{x^2+y^2}-i\frac{y}{x^2+y^2}
$
avec $x^2+y^2\not=0$
}
\bgprop{ (Quotient de deux nombres complexes)
Le quotient des deux nombres complexes $z_1$ et $z_2\not=0$, est
$\dfrac{z_1}{z_2}=z_1\tm\dfrac{1}{z_2}
=\dfrac{z_1\tm\overline{z_2}}{z_2\tm\overline{z_2}}
$.
}
\vspd
\bgex
Ecrire sous forme algébrique $(x+iy)$ les nombres complexes:
\vspd
\noindent
$\bullet$\ $\dfrac{1}{3+2i}$
\hspace{0.5cm}
$\bullet \dfrac{1+i}{3-2i}$
\hspace{0.5cm}
$\bullet$\ $\dfrac{1+4i}{1-2i}$
\hspace{0.5cm}
$\bullet\ \dfrac{2i}{2i-1}$
\hspace{0.5cm}
$\bullet$\ $\lp 2+3i\rp\Big( 5-i\Big)+\lp\dfrac{1}{2}+3i\rp^2$
\vspd\noindent
$\bullet$\ $\dsp i^3$
\hspace{0.5cm}
$\bullet$\ $\dsp \frac{1}{i}$
\hspace{0.5cm}
$\bullet$\ $\dsp i^4$
\hspace{0.5cm}
$\bullet$\ $\dsp i^5$
\hspace{0.5cm}
$\bullet$\ $\dsp i^6$
%\hspace{0.5cm}
%$\bullet$\ Exprimer en fonction de $n\in\N$,\ \ $\dsp z_n=i^n$
\hspace{0.5cm}
$\bullet\ \dfrac3{i^{10}}$
\enex
\bgex Soit $z_1=-1+3i$ et $z_2=4-i$.
Ecrire sous forme algébrique les nombres complexes:
\[
\bullet \ z_1^2-2z_2
\qquad
\bullet \ z_1z_2^2
\qquad
\bullet \ \dfrac{z_1}{z_2}
\qquad
\bullet \ \dfrac{1}{z_1}+\dfrac{1}{z_2}
\]
\enex
\section{Module et argument d'un nombre complexe}
\noindent
\bgmp{11cm}
\bgdef{
Soit dans le plan complexe un point $M$ d'affixe $z=x+iy$,
$x\in\R$, $y\in\R$.
\vspd
Alors, $OM=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{z\overline{z}}$.
Ce nombre, {\bf réel et positif},
s'appelle {\bf le module} du nombre complexe $z$, et est noté
$|z|=OM=\sqrt{x^2+y^2}$.
On appelle {\bf argument} du nombre complexe non nul $z$, noté
$\mbox{arg}(z)$, toute mesure
en radians de l'angle orienté:
$\lp\vec{u},\V{OM}\rp$.
}
\enmp
\bgmp{6cm}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2.,-1)(4,3.)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-0.5,0)(3.5,0)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-0.5)(0,2.5)
\psline[linewidth=1.4pt]{->}(0,0)(0,1)
\psline[linewidth=1.4pt]{->}(0,0)(1,0)
\psline[linewidth=1.2pt]{->}(0,0)(2.5,1.8)
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]{->}(2.5,0)(2.5,1.8)
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]{->}(0,1.8)(2.5,1.8)
\put(-0.4,-0.4){$O$}\put(0.3,-0.4){$\vec{u}$}\put(-0.4,0.3){$\vec{v}$}
\put(2.3,2){$M(z=x+iy)$}
\put(2.4,-0.4){$x$}\put(-0.4,1.8){$y$}
%\put(1,1){\rotatebox{45}{$az$}}
\rput{36}(1,1){$|z|$\scriptsize{$=\sqrt{x^2+y^2}$}}
\psarc{->}(0.4,0.3){0.8}{-20}{34}
\put(1.4,0.4){\scriptsize$\mbox{arg(z)}$}
\end{pspicture}
\enmp
\vspd\noindent
\ul{Remarque:}
$\bullet$ Un nombre complexe non nul $z$ a une infinité
d'arguments:
si $\theta$ est un de ces arguments, alors tous les autres sont de la
forme $\theta+k2\pi$, $k\in\Z$.
\vsp
On note $\mbox{arg}(z)=\theta$ (modulo $2\pi$),
ou $\mbox{arg}(z)=\theta\ [2\pi]$, ou encore, pour simplifier
(mais alors par abus de langage), $\mbox{arg}(z)=\theta$.
\vspd
$\bullet$ Si $z$ est un réel ($z=x+i\tm0$), alors
$|z|=|x|$: le module coïncide avec la valeur absolue pour les nombres
réels.
Par exemple, $|6|=\sqrt{6^2}=6$, et $|-3|=\sqrt{(-3)^2}=3$.
\bgex
Calculer les modules des nombres complexes suivants:
$z_1=1+2i$, \quad
$z_2=2-3i$, \quad
$z_3=-1-5i$, \quad
$z_4=3$, \quad
$z_5=-6$, \quad
$z_7=8i$, \quad
$z_8=-3i$, \quad
$z_9=\sqrt3+i$
\enex
\vspd\noindent
\bgmp{9.5cm}
\bgprop{
Soit $A(z_A)$ et $B(z_B)$, alors $\V{AB}(z_B-z_A)$ et donc,
\vspd
\bgit
\item[$\bullet$] $AB=\|\V{AB}\|=|z_B-z_a|$
\vspt
\item[$\bullet$] $\lp
\vec{u},\V{AB}\rp=\mbox{arg}(z_{\V{AB}})=\mbox{arg}(z_B-z_A)$.
\enit
}
\enmp
\bgmp{7cm}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1.,-0.2)(6,4.6)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-0.5,0)(5,0)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-0.5)(0,5)
\psline[linewidth=1.4pt]{->}(0,0)(0,1)
\psline[linewidth=1.4pt]{->}(0,0)(1,0)
\put(-0.4,-0.4){\footnotesize$O$}
\put(0.3,-0.4){$\vec{u}$}\put(-0.4,0.3){$\vec{v}$}
\psline[linewidth=1.2pt]{->}(0,0)(4,2)
\rput(5.5,1.8){$M(z_B\!-\!z_A)$}
\psarc{->}(0,0){2}{0}{26}\rput(2.3,0.5){$\theta$}
%\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]{->}(4,0)(4,2)
%\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]{->}(0,2)(4,2)
\psline[linewidth=1.2pt]{->}(1.5,2.5)(5.5,4.5)
\rput(1.5,2.5){$\bullet$}\rput(1,3){$A(z_A)$}
\rput(6,4.8){$B(z_B)$}
\rput(3,4.5){\scriptsize$\V{AB}(z_{\V{AB}}\!=\!z_B\!-\!z_A)$}
\psline[linewidth=1.4pt]{->}(1.5,2.5)(2.5,2.5)
\psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](1.5,2.5)(4.5,2.5)
\put(1.8,2){$\vec{u}$}
\psarc{->}(1.5,2.5){2}{0}{26}
\rput(5.05,3.3){\footnotesize$\theta=\mbox{arg}(|z_{\V{AB}}|$}
\rput(5.4,2.7){\footnotesize$=\mbox{arg}(z_B\!-\!z_A)$}
\end{pspicture}
\enmp
\bgex Déterminer l'ensemble des nombres complexes $z$ tels que :
\vsp\noindent
$\bullet\ \dsp \mbox{arg}(z)=\frac{\pi}{6}$
\hspace{0.5cm}
$\bullet\ |z-3|=|z+2i|$
\hspace{0.5cm}
$\bullet\ |z+1-2i|<\sqrt{5}$
\hspace{0.5cm}
$\bullet\ \mbox{arg}(z+i)=\pi$
\enex
\bgex
Dans le plan complexe,
$A$, $B$ et $C$ sont les points d'affixes:
\[
z_A=1+i\ ,\
z_B=4+5i\ ,\
z_C=5-2i\ .
\]
\bgen
\item Montrer que $AB=AC$.%,
%puis que
%$\lp\V{AB};\V{AC}\rp=-\dfrac{\pi}{2}$.
%\item Déterminer l'affixe du point $K$ tel que le quadrilatère
% $ABKC$ soit un rectangle.
\item
\bgen[a)]
\item Déterminer l'affixe du point $G$ tel que le quadrilatère
$AGBC$ soit un parallélogramme.
\item %Vérifier que $B$ est le milieu du segment $[GK]$.
Déterminer les affixes des points $I$ et $J$, milieux respectifs
de $[GC]$ et $[AB]$.
\enen
\enen
\enex
\bgprop{
Pour tout nombres complexes $z$ et $z'$:
\bgit
\item[$\bullet$] si $z=x+iy$, $x\in\R$ et $y\in\R$,
$z\overline{z}=|z|^2=x^2+y^2$
\vsp
\item[$\bullet$] $|-z|=|z|$
\qquad $\bullet$ $|\overline{z}|=|z|$
\vspd
\item[$\bullet$] $|z+z'|\leq |z|+|z'|$ (inégalité triangulaire)
\vsp
\item[$\bullet$] $|zz'|=|z|\, |z'|$
\qquad $\bullet$ $|z^n|=|z|^n$
\qquad $\bullet$ $\dsp\frac{|z|}{|z'|}
=\psline(0,-0.3)(0,0.5)\frac{z}{z'}\,\psline(0,-0.3)(0,0.5)$
\enit
}
\bgex
Calculer le module des nombres complexes suivants:
a)\ $z=\dfrac{1+i}{3-4i}$
\quad
b)\ $z=\lp 2+2i\rp\lp -1+i\rp$
\quad
c)\ $z=\dfrac{i(-1-i)}{-3+4i}$
\quad
d)\ $z=\dfrac{-4(2-i)}{2i(1+2i)}$
\enex
\section{Forme trigonométrique d'un nombre complexe}
\noindent
\bgmp{10cm}
\bgdef{
Dans le plan complexe un point $M$ peut-être repéré par ses
coordonnées cartésienne $(x;y)$, ou son affixe complexe $z=x+iy$,
ou par ses coordonnées polaires $(r;\theta)$,
avec $r=OM$ et $\theta=(\vec{u};\V{OM})$.
\vspd
On a les relations:
\[
\la\bgar{ll}
r=\sqrt{x^2+y^2} \\
\dsp\cos\theta=\frac{x}{r}\ ,\ \sin\theta=\frac{y}{r}
\enar\right.
\Longleftrightarrow
\la\bgar{ll}
x=r\cos\theta \\ y=r\sin\theta
\enar\right.
\]
\vsp
L'affixe $z$ du point $M$ s'écrit alors,
\[ z= r\big(\cos\theta+i\sin\theta\big)
\]
\bgmp{18cm}
Cette écriture est la {\bf forme trigonométrique} de $z$.
\enmp
}
\enmp
\bgmp{6cm}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2.5,-3)(3,3.)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-2.5,0)(4.5,0)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-2.5)(0,3.5)
\psline[linewidth=1.4pt]{->}(0,0)(0,2)
\psline[linewidth=1.4pt]{->}(0,0)(2,0)
\rput(-0.2,-0.2){$O$}%\put(1,-0.4){$\vec{u}$}\put(-0.4,1){$\vec{v}$}
\psline[linewidth=1.2pt]{->}(0,0)(4,2.5)
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]{->}(4,0)(4,2.5)
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]{->}(0,2.5)(4,2.5)
\put(2.8,2.7){$M(z=x+iy)$}
\rput(3.8,-0.2){\scriptsize$x\!=\!r\cos\theta$}
\rput(-0.6,2.5){\scriptsize$y\!=\!r\sin\theta$}
%\put(1,1){\rotatebox{45}{$az$}}
\rput{35}(2.2,1.65){$r\!=\!|z|$\scriptsize{$\!=\!\sqrt{x^2+y^2}$}}
\pscircle(0,0){2}
\psarc{->}(0.4,0.3){0.5}{-25}{30}
\rput(1.55,0.35){\scriptsize$\theta\!\!=\!\!\mbox{arg(z)}$}
\psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](1.7,0)(1.7,1.08)
\psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](0,1.08)(1.7,1.08)
\rput(-0.4,1.1){\scriptsize$\sin\theta$}
\rput(1.6,-0.2){\scriptsize$\cos\theta$}
\end{pspicture}
\enmp
\bgex
Ecrire sous forme trigonométrique les
nombres complexes suivants:
\vsp
\begin{tabular}{*4{p{4cm}}}
$\bullet\ z_1=3$
&
$\bullet\ z_2=-4$
&
$\bullet\ z_3=2i$
&
$\bullet\ z_4=-1+i$
\\[0.4cm]
$\bullet\ z_5=-\sqrt{3}+i$
&
$\bullet\ z_6=-6\sqrt{3}+6i$
&
$\bullet\ z_7=\sqrt{6}+i\sqrt{2}$.
\end{tabular}
\enex
\section{Equation du second degré}
\bgprop{
Soit $a$ un nombre réel. Les solutions de l'équation
$z^2=a$ sont appelées racines carrées de $a$ dans $\C$,
avec
\vsp
\hspace{-0.5cm}
\bgmp{16cm}
\bgit
\item[$\bullet$] si $a\geq 0$, alors $z=\sqrt{a}$ ou $z=-\sqrt{a}$
\qquad(deux racines réelles)
\vsp
\item[$\bullet$] si $a<0$, alors $z=i\sqrt{-a}$ ou $z=-i\sqrt{-a}$
\quad(deux racines complexes, imaginaires pures)
\enit
\enmp
}
\vspd\noindent
\ul{Démonstration:}
$\bullet$ Si $a\geq 0$, alors $z^2=a \Longleftrightarrow
(z-\sqrt{a})(z+\sqrt{a})=0$,
d'où les racines de l'équation.
\vsp
$\bullet$ Si $a<0$,
$z^2=a \Longleftrightarrow z^2-i^2(-a)=z^2-i^2(\sqrt{-a})^2=0
\Longleftrightarrow (z-i\sqrt{-a})(z+i\sqrt{-a})=0$,
d'où les racines complexes.
\vspd\noindent
\ul{Exemples:}
Les racines carrées de $2$ dans $\C$ sont $\sqrt2$ et $-\sqrt2$,
qui sont réelles;
les racines carrées de $-4$ dans $\C$ sont
$i\sqrt{4}=2i$ et $-i\sqrt{4}=-2i$.
\bgprop{
L'équation $az^2+bz+c=0$, où $a\not=0$, $b$ et $c$ sont trois réels,
de discriminant $\Delta=b^2-4ac$ admet:
\bgit
\item[$\bullet$] si $\Delta=0$, une solution réelle double
$\dsp z=-\frac{b}{2a}$
\vspd
\item[$\bullet$] si $\Delta>0$, deux solutions réelles distinctes
$\dsp z_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et
$\dsp z_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.
\vspd
\item[$\bullet$] si $\Delta<0$, deux solutions complexes conjuguées:
\[ z_1=\frac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a}\ \mbox{ et ,} \
z_2=\frac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}\]
\enit
Dans tous les cas, le trinôme du second degré se factorise selon
(avec éventuellement $z_1=z_2$):
$az^2+bz+c=a(z-z_1)(z-z_2)$.
}
\bgex
Résoudre dans $\C$ les équations suivantes:
\vspd\noindent
$\bullet\ z^2+z+1=0$
\hspace{0.5cm}
$\bullet\ z^2-3z+18=0$
\hspace{0.5cm}
$\bullet\ z^2+9z-4=0$
\hspace{0.5cm}
$\bullet\ -z^2+(1+\sqrt{3})z-\sqrt{3}=0$
\enex
\bgex
Résoudre dans $\C$ l'équation $z^4+4z^2-21=0$.
\enex
\bgex
Résoudre dans $\C$ l'équation : $z^4+5z^2-36=0$.
\enex
\bgex
On considère le polynôme $P$ défini sur $\C$ par
$P(z)=z^4-4z^3+4z^2-4z+3$.
\bgit
\item[a)] Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ tels que, pour
tout complexe $z$,
$P(z)=(z^2+1)(az^2+bz+c)$.
\vspd
\item[b)] En déduire toutes les solutions dans $\C$ de l'équation
$P(z)=0$.
\enit
\enex
\bgex
Soit $P$ le polynôme défini par: \quad
$P(z)=z^3-(2+i)z^2+2(1+i)z-2i$.
\bgen
\item Calculer $P(i)$.
\item Trouver deux nombres réels $p$ et $q$ tels que
$P(z)=(z-i)(z^2+pz+q)$.
\item Déterminer alors toutes les solutions de l'équation $P(z)=0$.
\item Montrer que ces solutions sont les affixes des
sommets d'un triangle rectangle.% isocèle.
\enen
\enex
\bgex
Soit le polynôme $P$ défini sur $\C$ par :
$P(z)=3z^3+(1+6i)z^2+2(8+i)z+32i$.
\vsp
\bgen[a)]
\item Vérifier que $z_0=-2i$ est une racine de $P$.
\vsp
\item Trouver les nombres réels $a$, $b$ et $c$ tels que,
pour tout complexe $z$,
$P(z)=(z-z_0)(az^2+bz+c)$.
\item Déterminer alors toutes les racines de $P$.
\enen
\enex
\bgex
Soit les nombres complexes $z_1=-1-i\sqrt{3}$ et $z_2=iz_1$.
\bgen
\item Ecrire $z_1$ et $z_2$ sous forme trigonométrique.
\item
\bgen[a)]
\item Placer dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal
$\lp O;\vec{u},\vec{v}\rp$ les points $M_1$ et $M_2$ d'affixes
$z_1$ et $z_2$.
\item Soit $A$, $B$ et $C$ les points du plan d'affixes respectives
$z_A$, $z_B$ et $z_C$ telles que $z_A=-2+2i\sqrt{3}$,
$z_B=2-2i\sqrt{3}$ et $z_c=8$.
Montrer que $z_A=2\overline{z_1}$.
\enen
\item
\bgen[a)]
\item Placer les points $A$, $B$ et $C$ dans le plan complexe.
\item Calculer $|z_A-z_B|$, $|z_B-z_C|$ et $|z_A-z_C|$.
\item En déduire que le triangle $ABC$ est rectangle.
\enen
\enen
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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