Nombres complexes

Conjugué d'un nombre complexe

Définition

Soit

, $x\in\R$ , $y\in\R$ , un nombre complexe. On appelle conjugué de

, noté $\overline{z}$ , le nombre complexe $\overline{z}=x-iy$ .

Propriété

Dans le plan complexe, si le point

a pour affixe

, alors l'image

de $\overline{z}$ est le symétrique de

par rapport à l'axe des abscisses.

Exemples:

Propriétés

$\overline{\overline{z}}=z$
$z\overline{z}=x^2+y^2$
$\overline{z z'}=\overline{z}\overline{z'}$
$\overline{z^n}=\overline{z}^n$
$\overline{z+z'}=\overline{z}+\overline{z'}$
si $z\not=0$ , $\overline{\lp\dfrac{1}{z}\rp}=\dfrac{1}{\overline{z}}$
si $z'\not=0$ , $\overline{\lp\dfrac{z}{z'}\rp}=\dfrac{\overline{z}}{\overline{z'}}$
$z+\overline{z}=2\Re e(z)$ et donc,
$\bgar{ll}z \text{ imaginaire pur} &\iff\Re e(z)=0 \\&\iff z=-\overline{z}\enar$
$z-\overline{z}=2i\Im m(z)$ , et donc,
$\bgar{ll}z\in\R &\iff\Im m(z)=0 \\&\iff z=\overline{z}\enar$

Exercice 7

Soit les nombres complexes: $z_1=\dfrac{3-i}{5+7i}$ et $z_2=\dfrac{3+i}{5-7i}$ .
Vérifier que $z_1=\overline{z_2}$ , et en déduire que

est réel et que

est imaginaire pur.

Calculer

Exercice 8

Soit

le polynôme défini sur $\C$ par :

Montrer que pour tout nombre complexe , $\overline{P(z)}=P(\overline{z})$ .
Calculer puis et vérifier que est une racine de , et en déduire une autre racine complexe de .