@ccueil Colles

Nombres complexes




Conjugué d'un nombre complexe


Définition
Soit $z=x+iy$, $x\in\R$, $y\in\R$, un nombre complexe. On appelle conjugué de $z$, noté $\overline{z}$, le nombre complexe $\overline{z}=x-iy$.


Propriété
Dans le plan complexe, si le point $M$ a pour affixe $z$, alors l'image $M'$ de $\overline{z}$ est le symétrique de $M$ par rapport à l'axe des abscisses.


Exemples:
  • $z=3+2i$, alors $\overline{z}=3-2i$.

  • $\overline{3-\dfrac12i}=3+\dfrac12i$

  • $\overline{-5}=-5$

  • $\overline{3i}=-3i$


Propriétés
  1. $\overline{\overline{z}}=z$
  2. $z\overline{z}=x^2+y^2$
  3. $\overline{z z'}=\overline{z}\overline{z'}$
  4. $\overline{z^n}=\overline{z}^n$
  5. $\overline{z+z'}=\overline{z}+\overline{z'}$

  6. si $z\not=0$,   $\overline{\lp\dfrac{1}{z}\rp}=\dfrac{1}{\overline{z}}$
  7. si $z'\not=0$,   $\overline{\lp\dfrac{z}{z'}\rp}=\dfrac{\overline{z}}{\overline{z'}}$
  8. $z+\overline{z}=2\Re e(z)$ et donc,
    \[\bgar{ll}z \text{ imaginaire pur} &\iff\Re e(z)=0 \\&\iff  z=-\overline{z}\enar\]
  9. $z-\overline{z}=2i\Im m(z)$, et donc,
    \[\bgar{ll}z\in\R &\iff\Im m(z)=0 \\&\iff  z=\overline{z}\enar\]



Exercice 7
Soit les nombres complexes: $z_1=\dfrac{3-i}{5+7i}$ et $z_2=\dfrac{3+i}{5-7i}$ .
Vérifier que $z_1=\overline{z_2}$, et en déduire que $z_1+z_2$ est réel et que $z_1-z_2$ est imaginaire pur.

Calculer $z_1+z_2$ et $z_1-z_2$.



Exercice 8
Soit $P$ le polynôme défini sur $\C$ par : $P(z)=z^3+z^2-4z+6$.

  1. Montrer que pour tout nombre complexe $z$,  $\overline{P(z)}=P(\overline{z})$.
  2. Calculer $(1+i)^2$ puis $(1+i)^3$ et vérifier que $1+i$ est une racine de $P$, et en déduire une autre racine complexe de $P$.



Exercice 9
Déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ du plan complexe tels que $Z=z^2+\overline{z}$ soit un nombre réel (on pourra poser $z=x+iy$, $x\in\R$, $y\in\R$, et écrire $Z$ sous forme algébrique).



Exercice 10
Résoudre dans $\C$ les équations (écrire la solution sous forme algébrique):
  1. $5\overline{z}=4-i$
  2. $(1+i)\overline{z}+1-i=0$
  3. $2\overline{z}+i=z+2$
  4. $3\overline{z}-2iz=5-3i$




Voir aussi: