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Nombres complexes


Trois exercices complets pour finir


Exercice 22
Soit $P$ le polynôme défini par:
\[P(z)=z^3-(2+i)z^2+2(1+i)z-2i\]
  1. Calculer $P(i)$.
  2. Trouver deux nombres réels $p$ et $q$ tels que $P(z)=(z-i)(z^2+pz+q)$.
  3. Déterminer alors toutes les solutions de l'équation $P(z)=0$.
  4. Montrer que ces solutions sont les affixes des sommets d'un triangle rectangle.


Exercice 23
Soit le polynôme $P$ défini sur $\C$ par: $P(z)=3z^3+(1+6i)z^2+2(8+i)z+32i$.
  1. Vérifier que $z_0=-2i$ est une racine de $P$.
  2. Trouver les nombres réels $a$, $b$ et $c$ tels que, pour tout complexe $z$,   $P(z)=(z-z_0)(az^2+bz+c)$.
  3. Déterminer alors toutes les racines de $P$.


Exercice 24
Soit les nombres complexes $z_1=-1-i\sqrt{3}$ et $z_2=iz_1$.
  1. Ecrire $z_1$ et $z_2$ sous forme trigonométrique.
    1. Placer dans le plan complexe les points $M_1$ et $M_2$ d'affixes $z_1$ et $z_2$.
    2. Soit $A$, $B$ et $C$ les points du plan d'affixes respectives $z_A$, $z_B$ et $z_C$ telles que $z_A=-2+2i\sqrt{3}$, $z_B=2-2i\sqrt{3}$ et $z_c=8$.
      Montrer que $z_A=2\overline{z_1}$.
    1. Placer les points $A$, $B$ et $C$ dans le plan complexe.
    2. Calculer $|z_A-z_B|$, $|z_B-z_C|$ et $|z_A-z_C|$.
    3. En déduire que le triangle $ABC$ est rectangle.


Voir aussi: