Nombres complexes
Forme trigonométrique d'un nombre complexe
Définition: Coordonnées polaires
Dans le plan un point 


Il existe d'autres méthodes pour repérer un point dans le plan. On peut aussi définir un point en donnant sa distance à l'origine et un angle, par exemple l'angle par rapport à l'axe des abscisses.
![\begin{pspicture}(-.6,-.5)(5,3.4)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-.5,0)(4.8,0)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-.5)(0,3.4)
\rput(-0.3,-0.3){$O$}
\psline[linewidth=1.4pt]{->}(0,0)(0,1)
\psline[linewidth=1.4pt]{->}(0,0)(1,0)
\put(0.3,-0.4){$\vec{u}$}\put(-0.4,0.2){$\vec{v}$}
\psline[linecolor=red,linewidth=1.2pt](0,0)(4,2.5)
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](4,0)(4,2.5)
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](0,2.5)(4,2.5)
\put(3.8,2.6){$M$}
\rput{35}(2.2,1.65){\large\red$r$}
\psarc[linecolor=blue]{->}(0,0){2}{0}{30}
\rput(2.2,.5){\large\blue$\theta$}
\rput(4,-.25){$x$}\rput(-.3,2.5){$y$}
\end{pspicture}](Cours-IMG/500.png)
On appelle coordonnées polaires le couple



Si




On a donc
![\[r=|z|=\sqrt{x^2+y^2}\]](Cours-IMG/508.png)
et la trigonométrie des triangles rectangles donne
![\[\cos\theta=\dfrac{x}r\]](Cours-IMG/509.png)
et
![\[\sin\theta=\frac{y}r\]](Cours-IMG/510.png)
ou aussi, en inversant ces deux dernières relations
![\[\la\bgar{ll}x=r\cos\theta\\y=r\sin\theta\enar\right.\]](Cours-IMG/511.png)
On peut alors reporter ces expressions dans l'expression algébrique

Définition
L'affixe 

![\[ z= r\big(\cos\theta+i\sin\theta\big)\]](Cours-IMG/515.png)
Cette écriture est la forme trigonométrique de




Méthode pour écrire un nombre complexe sous forme trigonométrique
Pour un nombre complexe 
Connaissant finalement


Exemple/exercice
Écrire sous forme trigonométrique 
On calcule le module
, puis l'argument
est tel que
![\[\la\bgar{ll}\cos\theta=\dfrac{x}{r}=\dfrac1{\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}2\\
\sin\theta=\dfrac{y}{r}=\dfrac1{\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}2\enar\right.\]](Cours-IMG/526.png)
L'angle correspondant est
, et alors
l'écriture trigonométrique est
![\[\bgar{ll}&z=1+i\\&=\sqrt2\lp\cos\dfrac\pi4+i\sin\dfrac\pi4\rp\enar\]](Cours-IMG/528.png)
Les coordonnées polaires peuvent se trouver aussi directement graphiquemet:
{$M$}\psarc{->}(0,0){2}{0}{45}$\theta=\dfrac\pi4$](Cours-IMG/529.png)


![\[\la\bgar{ll}\cos\theta=\dfrac{x}{r}=\dfrac1{\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}2\\
\sin\theta=\dfrac{y}{r}=\dfrac1{\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}2\enar\right.\]](Cours-IMG/526.png)
L'angle correspondant est

![\[\bgar{ll}&z=1+i\\&=\sqrt2\lp\cos\dfrac\pi4+i\sin\dfrac\pi4\rp\enar\]](Cours-IMG/528.png)
Les coordonnées polaires peuvent se trouver aussi directement graphiquemet:
{$M$}\psarc{->}(0,0){2}{0}{45}$\theta=\dfrac\pi4$](Cours-IMG/529.png)
Écrire sous forme trigonométrique

On calcule le module
, puis l'argument
est tel que
![\[\la\bgar{ll}\cos\theta=\dfrac{x}{r}=\dfrac12\\
\sin\theta=\dfrac{y}r=-\dfrac{\sqrt3}2\enar\right.\]](Cours-IMG/533.png)
L'angle correspondant est
, et alors
l'écriture trigonométrique est


![\[\la\bgar{ll}\cos\theta=\dfrac{x}{r}=\dfrac12\\
\sin\theta=\dfrac{y}r=-\dfrac{\sqrt3}2\enar\right.\]](Cours-IMG/533.png)
L'angle correspondant est

![\[\bgar{ll}&z=1+i\\&=2\Biggl(\cos\lp-\dfrac\pi6\rp+i\sin\lp-\dfrac\pi6\rp\Biggr)\enar\]](Cours-IMG/535.png)
Exercice 17
Ecrire sous forme trigonométrique les nombres complexes suivants:
-
On peut appliquer la méthode générale précédente:
et l'argument esttel que
d'oùet
Géométriquement, ce cas est simple: le pointd'affixe complexe
est sur l'axe des abscisses (axe réel)
-
On peut la méthode calculatoire générale:
et l'argument esttel que
d'oùet
Géométriquement, ce cas est simple aussi: le pointd'affixe complexe
est sur l'axe des abscisses (axe réel)
-
On peut la méthode calculatoire générale:
et l'argument esttel que
d'oùet
Géométriquement, ce cas est simple aussi: le pointd'affixe complexe
est sur l'axe des abscisses (axe réel)
-
On peut utiliser la méthode calculatoire générale:
et l'argument esttel que
d'oùet
Géométriquement, on peut aussi trouver les coordonnées polaires:
-
et l'argument esttel que
d'où
-
et l'argument esttel que
d'où
Remarque: on a, calculé à la question précédente, d'où le résultat en multipliant aussi par l'expression trouvée pour la forme trigonométrique de
.
-
.
et l'argument esttel que
d'où