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Nombres complexes


Forme trigonométrique d'un nombre complexe


Définition: Coordonnées polaires
Dans le plan un point $M$ peut-être repéré par ses coordonnées cartésienne $(x;y)$, ou son affixe complexe $z=x+iy$.
Il existe d'autres méthodes pour repérer un point dans le plan. On peut aussi définir un point en donnant sa distance à l'origine et un angle, par exemple l'angle par rapport à l'axe des abscisses.
\begin{pspicture}(-.6,-.5)(5,3.4) \psline[linewidth=0.8pt]{->}(-.5,0)(4.8,0) \psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-.5)(0,3.4) \rput(-0.3,-0.3){$O$} \psline[linewidth=1.4pt]{->}(0,0)(0,1) \psline[linewidth=1.4pt]{->}(0,0)(1,0) \put(0.3,-0.4){$\vec{u}$}\put(-0.4,0.2){$\vec{v}$} \psline[linecolor=red,linewidth=1.2pt](0,0)(4,2.5) \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](4,0)(4,2.5) \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](0,2.5)(4,2.5) \put(3.8,2.6){$M$} \rput{35}(2.2,1.65){\large\red$r$} \psarc[linecolor=blue]{->}(0,0){2}{0}{30} \rput(2.2,.5){\large\blue$\theta$} \rput(4,-.25){$x$}\rput(-.3,2.5){$y$} \end{pspicture}

On appelle coordonnées polaires le couple $(r;\theta)$, avec $r=OM$ et $\theta=(\vec{u};\V{OM})$.


Si $z=x+iy$ est l'affixe du point $M$, alors les coordonnées $(r,\theta)$ sont le couple module et argument du nombre complexe $z$.
On a donc
\[r=|z|=\sqrt{x^2+y^2}\]

et la trigonométrie des triangles rectangles donne
\[\cos\theta=\dfrac{x}r\]

et
\[\sin\theta=\frac{y}r\]

ou aussi, en inversant ces deux dernières relations
\[\la\bgar{ll}x=r\cos\theta\\y=r\sin\theta\enar\right.\]


On peut alors reporter ces expressions dans l'expression algébrique $z=x+iy$:

Définition
L'affixe $z$ du point $M$ s'écrit alors,
\[ z= r\big(\cos\theta+i\sin\theta\big)\]

Cette écriture est la forme trigonométrique de $z$ et met en évidence les coordonnées polaires $(r,\theta)$ du point $M$ d'affixe $z$.


Méthode pour écrire un nombre complexe sous forme trigonométrique
Pour un nombre complexe $z=x+iy$, on calcule tout d'abord son module puis on écrit le cosinus et le sinus de l'argument à partir desquels on détermine l'argument.
Connaissant finalement $r$ et $\theta$, il n'y a plus qu'à écrire la forme trigonométrique précédente.

Exemple/exercice
Écrire sous forme trigonométrique $z=1+i$.
On calcule le module $r=|z|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$, puis l'argument $\theta$ est tel que
\[\la\bgar{ll}\cos\theta=\dfrac{x}{r}=\dfrac1{\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}2\\ \sin\theta=\dfrac{y}{r}=\dfrac1{\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}2\enar\right.\]

L'angle correspondant est $\theta=\dfrac\pi4$, et alors l'écriture trigonométrique est
\[\bgar{ll}&z=1+i\\&=\sqrt2\lp\cos\dfrac\pi4+i\sin\dfrac\pi4\rp\enar\]


Les coordonnées polaires peuvent se trouver aussi directement graphiquemet:
pspicture\rput[r](1,1.2){$M$}\psarc{->}(0,0){2}{0}{45}$\theta=\dfrac\pi4$


Écrire sous forme trigonométrique $z=1-i\sqrt3$.
On calcule le module $r=|z|=\sqrt{1^2+(\sqrt3)^2}=2$, puis l'argument $\theta$ est tel que
\[\la\bgar{ll}\cos\theta=\dfrac{x}{r}=\dfrac12\\ \sin\theta=\dfrac{y}r=-\dfrac{\sqrt3}2\enar\right.\]

L'angle correspondant est $\theta=-\dfrac\pi3$, et alors l'écriture trigonométrique est
\[\bgar{ll}&z=1+i\\&=2\Biggl(\cos\lp-\dfrac\pi6\rp+i\sin\lp-\dfrac\pi6\rp\Biggr)\enar\]



Exercice 17
Ecrire sous forme trigonométrique les nombres complexes suivants:
  1. $z_1=3$
    On peut appliquer la méthode générale précédente:
    \[|z_1|=|3|=3\]

    et l'argument est $\theta$ tel que
    \[\la\bgar{ll}\cos\theta=\dfrac33=1\\\sin\theta=\dfrac03=0\enar\right.\]

    d'où $\theta=0$ et
    \[z_1=3\bigl(\cos(0)+i\sin(0)\bigr)\]


    Géométriquement, ce cas est simple: le point $M$ d'affixe complexe $z_1=3$ est sur l'axe des abscisses (axe réel)
    \begin{pspicture}\rput(3,0){$\tm$}\rput[r](3,-.3){$M$}\psline[linewidth=1.8pt,linecolor=red](0,0)(3,0)\rput[r](2,.2){\red$r=3$}\rput[l](3.2,.2){\blue$\theta=\dfrac\pi2$}\end{pspicture}
  2. $z_2=-4$
    On peut la méthode calculatoire générale:
    \[|z_2|=|-4|=4\]

    et l'argument est $\theta$ tel que
    \[\la\bgar{ll}\cos\theta=-\dfrac44=-1\\\sin\theta=\dfrac03=0\enar\right.\]

    d'où $\theta=\pi$ et
    \[z_2=3\bigl(\cos(\pi)+i\sin(\pi)\bigr)\]


    Géométriquement, ce cas est simple aussi: le point $M$ d'affixe complexe $z_2=-4$ est sur l'axe des abscisses (axe réel)
    pspicture...
  3. $z_3=2i$
    On peut la méthode calculatoire générale:
    \[|z_3|=|2i|=2\]

    et l'argument est $\theta$ tel que
    \[\la\bgar{ll}\cos\theta=\dfrac02=0\\\sin\theta=\dfrac22=1\enar\right.\]

    d'où $\theta=\dfrac\pi2$ et
    \[z_3=3\biggl(\cos\lp\dfrac\pi2\rp+i\sin\lp\dfrac\pi2\rp\biggr)\]


    Géométriquement, ce cas est simple aussi: le point $M$ d'affixe complexe $z_3=-4$ est sur l'axe des abscisses (axe réel)
    pspicture...
  4. $z_4=-1+i$
    On peut utiliser la méthode calculatoire générale:
    \[\bgar{ll}|z_4|&=|-1+i|\\&=\sqrt{(-1)^2+1^2}\\&=\sqrt2\enar\]

    et l'argument est $\theta$ tel que
    \[\la\bgar{ll}\cos\theta=-\dfrac1{\sqrt2}=-\dfrac{\sqrt2}2\\\sin\theta=\dfrac1{\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}2\enar\right.\]

    d'où $\theta=\dfrac{3\pi}4$ et
    \[z_4=\sqrt2\biggl(\cos\lp\dfrac{3\pi}4\rp+i\sin\lp\dfrac{3\pi}4\rp\bigr)\]


    Géométriquement, on peut aussi trouver les coordonnées polaires:
    pspicture\blue$\theta=\dfrac\pi4$
  5. $z_5=-\sqrt3+i$
    \[|z_5|=\sqrt{(-\sqrt3)^2+1^2}=2\]

    et l'argument est $\theta$ tel que
    \[\la\bgar{ll}\cos\theta=-\dfrac{\sqrt3}2\\\sin\theta=\dfrac12\enar\right.\]

    d'où $\theta=\dfrac{5\pi}6$
    \[z_5=2\biggl(\cos\lp\dfrac{5\pi}6\rp+i\sin\lp\dfrac{5\pi}6\rp\biggr)\]
  6. $z_6=-6\sqrt3+6i$
    \[|z_6|=\sqrt{(-6\sqrt3)^2+6^2}=12\]

    et l'argument est $\theta$ tel que
    \[\la\bgar{ll}\cos\theta=-\dfrac{6\sqrt3}{12}=-\dfrac{\sqrt3}2\\\sin\theta=\dfrac6{12}=\dfrac12\enar\right.\]

    d'où $\theta=\dfrac{5\pi}6$
    \[z_6=12\biggl(\cos\lp\dfrac{5\pi}6\rp+i\sin\lp\dfrac{5\pi}6\rp\biggr)\]



    Remarque: on a $z_7=6z_6$, calculé à la question précédente, d'où le résultat en multipliant aussi par l'expression trouvée pour la forme trigonométrique de $z_6$.
  7. $z_7=\sqrt6+i\sqrt2$.
    \[|z_7|=\sqrt{(\sqrt6)^2+(\sqrt2)^2}=\sqrt8=2\sqrt2\]

    et l'argument est $\theta$ tel que
    \[\la\bgar{ll}\cos\theta=\dfrac{\sqrt6}{2\sqrt2}=\dfrac{\sqrt3\sqrt2}{2\sqrt2}=\dfrac{\sqrt3}2\\\sin\theta=\dfrac{\sqrt2}{2\sqrt2}=\dfrac12\enar\right.\]

    d'où $\theta=\dfrac\pi6$
    \[z_7=2\sqrt2\biggl(\cos\lp\dfrac\pi6\rp+i\sin\lp\dfrac\pi6\rp\biggr)\]