Nombres complexes

Inverse et quotient de nombres complexes

Propriété - Inverse d'un nombre complexe

Tout nombre complexe non nul

admet un inverse, noté $\dfrac1{z}$ .

Démonstration

Cette démonstration est à connaître: elle contient la méthode pour calculer la forme algébrique de l'inverse d'un nombre complexe.
Soit

un nombre complexe non nul, c'est-à-dire $x\not=0$ et $y\not=0$ .
Alors, en multipliant numérateur et dénominateur par le conjugué:

$\dfrac1z=\dfrac{1\tm\overline{z}}{z\tm\overline{z}}$

Soit, en détaillant

$\bgar{ll}\dfrac1z&=\dfrac{1}{x+iy}\\&=\dfrac{x-iy}{(x+iy)(x-iy)}\\&=\dfrac{x-iy}{x^2+y^2}\\&=\dfrac{x}{x^2+y^2}-i\dfrac{y}{x^2+y^2}\enar$

Exemples

L'inverse de est

$\bgar{ll}\dfrac1z&=\dfrac1{2+3i}\\&=\dfrac{2-3i}{(2+3i)(2-3i)}\\&=\dfrac{2-3i}{2^2+3^2}\\&=\dfrac{2-3i}{13}\\&=\dfrac2{13}-\dfrac3{13}i\enar$
L'inverse de est

$\bgar{ll}\dfrac1z&=\dfrac1{1-i}\\&=\dfrac{1+i}{(1-i)(1+i)}\\&=\dfrac{1+i}2\\&=\dfrac12+\dfrac12i\enar$

Pour écrire le quotient de deux nombres complexes sous forme algébrique on utilise la même méthode: on multiplie numérateur et dénominateur par le nombre conjuqué du dénominateur:

Propriété - Quotient de deux nombres complexes

Le quotient des deux nombres complexes

et $z_2\not=0$ , est

$\dfrac{z_1}{z_2}=z_1\tm\dfrac{1}{z_2} =\dfrac{z_1\tm\overline{z_2}}{z_2\tm\overline{z_2}}$

Exercice 11

Ecrire sous forme algébrique

les nombres complexes:

$\dfrac1{3+2i}$

$\bgar{ll}\dfrac1{3+2i}&=\dfrac{3-2i}{(3+2i)(3-2i)}\\&=\dfrac{3-2i}{13}\\&=\dfrac3{13}-\dfrac2{13}i\enar$
$\dfrac{1+i}{3-2i}$

$\bgar{ll}\dfrac{1+i}{3-2i}&=\dfrac{(1+i)(3+2i)}{(3-2i)(3+2i)}\\&=\dfrac{1+5i}{13}\\&=\dfrac1{13}+\dfrac5{13}i\enar$
$\dfrac{1+4i}{1-2i}$

$\bgar{ll}\dfrac{1+4i}{1-2i}&=\dfrac{(1+4i)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)}\\&=\dfrac{-7+6i}{5}\\&=-\dfrac75+\dfrac65i\enar$
$\dfrac{2i}{2i-1}$

$\bgar{ll}\dfrac{2i}{2i-1}&= \dfrac{2i(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)}\\&=\dfrac{-7+6i}{5}\\&=-\dfrac75+\dfrac65i\enar$
$\lp 2+i\sqrt{3}\rp\Big( 5-i\Big)+\lp\dfrac{1}{2}+3i\rp^2$

On développe les deux termes

$\bgar{ll}&\lp2+3i\rp\Big( 5-i\Big)+\lp\dfrac{1}{2}+3i\rp^2\\=&10-2i+15i-3i^2+\lp\dfrac12\rp^2+2\dfrac12\tm3i+(3i)^2\\=&10+13i+3+\dfrac14+3i-9\\=&\dfrac{17}4+16i \enar$
$i^3=i^2\tm i=-1\tm i=-1$
$\dfrac1i$

$\dfrac1i=\dfrac{1\tm i}{i\tm i}=\dfrac{i}{i^2}=-i$
Avec les règles de calcul sur les puissances
$i^4=\lp i^2\rp^2=(-1)^2=1$
D'après ce qui précède, et les règles de calcul sur les puissances,
$i^5=i^4\tm i= i$
D'après les règles de calcul sur les puissances
$i^6=\lp i^2\rp^3=(-1)^3=-1$
$\dfrac3{i^{10}}$

D'après les règles de calcul sur les puissances
$i^{10}=\lp i^2\rp^5=(-1)^5=-1$

et donc

$\dfrac3{i^{10}}=-3$

Exercice 12

Soit

.
Ecrire sous forme algébrique les nombres complexes:

On développe déjà la première identité remarquable
$\bgar{ll}z_1^2&=(-1+3i)^2=(-1)^2+2(-1)(3i)+(3i)^2\\&=1-6i-9\\&=-8-6i\enar$
puis

$\bgar{ll}z_1^2-2z_2&=-8-6i-2(4-i)\\&=-8-6i-8+2i\\&=-16-4i\enar$
On a

$\bgar{ll}z_2^2&=(4-i)^2\\&=4^2-8i+i^2\\&=15-8i\enar$

puis

$\bgar{ll}z_1z_2^2&=(-1+3i)(15-8i)\\&=-15+8i+45i-24i^2\\&=9+53i\enar$
$\dfrac{z_1}{z_2}$

En multipliant numérateur et dénomateur par le conjgué, on obtient

$\bgar{ll}\dfrac{z_1}{z_2}&=\dfrac{-1+3i}{4-i}\\&=\dfrac{(-1+3i)(4+i)}{(4-i)(4+i)}\\&=\dfrac{-7+11i}{17}\\&=-\dfrac7{17}+\dfrac{11}{17}i \enar$
$\dfrac1{z_1}+\dfrac1{z_2}$

En mettant tout d'abord sur le même dénominateur
$\bgar{ll}&\dfrac1{z_1}+\dfrac1{z_2} =\dfrac1{-1+3i}+\dfrac1{4-i}\\&=\dfrac{4-i}{(-1+3i)(4-i)}+\dfrac{-1+3i}{(4-i)(-1+3i)}\\&=\dfrac{(4-i)+(-1+3i)}{-1+i+12i-3i^2}\\&=\dfrac{3+2i}{-1+13i}\\\enar$

puis on écrit ce quotient sous forme algébrqique en multipliant par le conjugué
$\bgar{ll}\dfrac1{z_1}+\dfrac1{z_2}&=\dfrac{(3+2i)(-1-13i)}{(-1+13i)(-1-13i)}\\&=\dfrac{23-41i}{170}\\&=\dfrac{23}{170}-\dfrac{41}{170}i\enar$

Nombres complexes

Inverse et quotient de nombres complexes

Module et argument d'un nombre complexe