Nombres complexes


Inverse et quotient de nombres complexes

Propriété - Inverse d'un nombre complexe
Tout nombre complexe non nul z admet un inverse, noté 1/z
Démonstration
Cette démonstration est à connaître: elle contient la méthode pour calculer la forme algébrique de l'inverse d'un nombre complexe.
Soit z = x + iy un nombre complexe non nul, c'est-à-dire que x≠0 ou y≠0.
Alors, en multipliant numérateur et dénominateur par le complexe conjugué:
1/z = 1 × z/z × z
or z = x − iy et z × z = x2 + y2
On trouve ainsi que
1/z = x − iy/x2 + y2
et donc, sous forme algébrique, en séparant les parties réelle et imaginairs
1/z = x/x2 + y2 − iy/x2 + y2



Exemples
  • L'inverse de z = 2 + 3i est
    1/z = 1/2 + 3i = 2 − 3i/(2 + 3i)(2 − 3i) = 2 − 3i/22 + 32 = 2 − 3i/13 = 2/13 −i3/13
  • L'inverse de z = 1 − i est
    1/z = 1/1 − i = 1 + i/(1 − i)(1 + i) = 1 + i/12 + 12 = 1 + i/2 = 1/2 + 1/2i



Pour écrire le quotient de deux nombres complexes sous forme algébrique on utilise la même méthode: on multiplie numérateur et dénominateur par le nombre conjuqué du dénominateur:

Corollaire: Quotient de deux nombres complexes
Le quotient des deux nombres complexes z1 et z2≠0 est le nombre complexe
z1/z2 = z1 × 1/z2
soit aussi, en mutltipliant par le conjugué du dénominateur,
z1/z2 = z1 × z2 /z2 × z2



Exercice 11
Ecrire sous forme algébrique les nombres complexes:
  1. 1/3 + 2i
    1/3 + 2i = 3 −2i/(3 + 2i)(3 − 2i) = 3 −2i/32 + 22 = 3 −2i/13 = 3/13 − 2/13i
  2. 1 + i/3 − 2i
    1 + i/3 − 2i = (1+ i)(3 + 2i)/(3 − 2i)(3 + 2i) = 3 + 2i + 3i + 2i2/32 + 22 = 1 + 5i/13 = 1/13 + 5/13i
  3. 1 + 4i/1 − 2i
    1 + 4i/1 − 2i = (1+ 4i)(1 + 2i)/(1 − 2i)(1 + 2i) = 1 + 2i + 4i + 8i2/12 + 22 = −7 + 6i/5 = −7/5 + 6/5i
  4. 2i/2i − 1
    Attention, le complexe conjuqué de 2i − 1 = −1 + 2i est −1 − 2i, et donc
    2i/2i − 1 = 2i(−1 − 2i)/(−1 + 2i)(−1 − 2i) = −2i − 4i2/12 + 22 = −2i + 4/5 = 4/5 − 2/5i
  5. 2 + i/1 − i + (−1 + 3i)2
    Pour la fraction, on a
    2 + i/1 − i = (2+ i)(1 + i)/(1 − i)(1 + i) = 1 + 3i/2 = 1/2 + 3/2i
    et on développe le deuxième terme, une identité remarquable,
    (−1 + 3i)2 = (−1)2 + 2(−1)(3i) + (3i)2 = −8 − 6i

    On ajoute finalement ces deux résultats:
    2 + i/1 − i + (−1 + 3i)2 = −15/2 − 9/2i
  6. i3
    i3 = i2 × i = −1 × i = −i
  7. 1/i
    1/i = 1 × i/i × i = i/−1 = −i
  8. i4
    Avec les règles de calcul sur les puissances
    i4 = (i2)2 = (−1)2 = 1
  9. i5
    D'après ce qui précède, et les règles de calcul sur les puissances,
    i5 = i4 × i = i
  10. i6
    D'après les règles de calcul sur les puissances
    i6 = (i2)3 = (−1)3 = −1
  11. 3/i10
    D'après les règles de calcul sur les puissances
    i10 = (i2)5 = (−1)5 = −1
    et donc
    3/i10 = −3



Exercice 12
Soit z1 = −1 + 3i et z2 = 4 − i.
Ecrire sous forme algébrique les nombres complexes:
  1. z12 − 2z2
    On développe déjà la première identité remarquable
    z12 = (−1 + 3i)2 = −8 − 6i
    puis
    z12 − 2z2 = −8 − 6i −2(4 − i) = −16 − 4i
  2. z1z22
    On a
    z22 = (4 −i)2 = 15 − 8i
    puis
    z1z22 = (−1 + 3i)(15 − 8i) = 9 + 53i

  3. z1/z2
    En multipliant numérateur et dénomateur par le conjgué du dénominateur on obtient
    z1/z2 = −1 + 3i/4 − i = (−1 + 3i)(4 + i)/(4 − i)(4 + i) = −4 −i + 12i + 3i2/42 + 12 = −7 + 11i/17 = −7/17 + 11/17i
  4. 1/z1 + 1/z2
    On commence par écrire la première inverse sous forme algébrique,
    1/z1 = 1/−1 + 3i = −1 − 3i/(−1 + 3i)(−1 − 3i) = −1 −3i/(−1)2 + 32 = −1 −3i/10 = −1/10 − 3/10i
    puis de même avec la deuxième
    1/z2 = 1/4 − i = 4 + i/(4 − i)(4 + i) = 4 + i/42 + 12 = 4/17 + 1/17i
    Enfin on ajoute ces deux résultats
    1/z1 + 1/z2 = −1/10 − 3/10i + 4/17 + 1/17i = 23/170 − 41/170i


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