@ccueil Colles

Nombres complexes




Inverse et quotient de nombres complexes

Propriété - Inverse d'un nombre complexe
Tout nombre complexe non nul $z$ admet un inverse, noté $\dfrac1{z}$.
Démonstration
Cette démonstration est à connaître: elle contient la méthode pour calculer la forme algébrique de l'inverse d'un nombre complexe.
Soit $z=x+iy$ un nombre complexe non nul, c'est-à-dire $x\not=0$ et $y\not=0$.
Alors, en multipliant numérateur et dénominateur par le conjugué:
\[\dfrac1z=\dfrac{1\tm\overline{z}}{z\tm\overline{z}}
\]

Soit, en détaillant
\[\bgar{ll}\dfrac1z&=\dfrac{1}{x+iy}\\&=\dfrac{x-iy}{(x+iy)(x-iy)}\\&=\dfrac{x-iy}{x^2+y^2}\\&=\dfrac{x}{x^2+y^2}-i\dfrac{y}{x^2+y^2}\enar\]




Exemples
  • L'inverse de $z=2+3i$ est
    \[\bgar{ll}\dfrac1z&=\dfrac1{2+3i}\\&=\dfrac{2-3i}{(2+3i)(2-3i)}\\&=\dfrac{2-3i}{2^2+3^2}\\&=\dfrac{2-3i}{13}\\&=\dfrac2{13}-\dfrac3{13}i\enar\]


  • L'inverse de $z=1-i$ est
    \[\bgar{ll}\dfrac1z&=\dfrac1{1-i}\\&=\dfrac{1+i}{(1-i)(1+i)}\\&=\dfrac{1+i}2\\&=\dfrac12+\dfrac12i\enar\]





Pour écrire le quotient de deux nombres complexes sous forme algébrique on utilise la même méthode: on multiplie numérateur et dénominateur par le nombre conjuqué du dénominateur:

Propriété - Quotient de deux nombres complexes
Le quotient des deux nombres complexes $z_1$ et $z_2\not=0$, est
\[\dfrac{z_1}{z_2}=z_1\tm\dfrac{1}{z_2}
=\dfrac{z_1\tm\overline{z_2}}{z_2\tm\overline{z_2}}\]




Exercice 11
Ecrire sous forme algébrique $(x+iy)$ les nombres complexes:
  1. $\dfrac1{3+2i}$
    \[\bgar{ll}\dfrac1{3+2i}&=\dfrac{3-2i}{(3+2i)(3-2i)}\\&=\dfrac{3-2i}{13}\\&=\dfrac3{13}-\dfrac2{13}i\enar\]
  2. $\dfrac{1+i}{3-2i}$
    \[\bgar{ll}\dfrac{1+i}{3-2i}&=\dfrac{(1+i)(3+2i)}{(3-2i)(3+2i)}\\&=\dfrac{1+5i}{13}\\&=\dfrac1{13}+\dfrac5{13}i\enar\]
  3. $\dfrac{1+4i}{1-2i}$
    \[\bgar{ll}\dfrac{1+4i}{1-2i}&=\dfrac{(1+4i)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)}\\&=\dfrac{-7+6i}{5}\\&=-\dfrac75+\dfrac65i\enar\]
  4. $\dfrac{2i}{2i-1}$
    \[\bgar{ll}\dfrac{2i}{2i-1}&=
\dfrac{2i(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)}\\&=\dfrac{-7+6i}{5}\\&=-\dfrac75+\dfrac65i\enar\]
  5. $\lp 2+i\sqrt{3}\rp\Big( 5-i\Big)+\lp\dfrac{1}{2}+3i\rp^2$
    On développe les deux termes
    \[\bgar{ll}&\lp2+3i\rp\Big( 5-i\Big)+\lp\dfrac{1}{2}+3i\rp^2\\=&10-2i+15i-3i^2+\lp\dfrac12\rp^2+2\dfrac12\tm3i+(3i)^2\\=&10+13i+3+\dfrac14+3i-9\\=&\dfrac{17}4+16i
  \enar\]
  6. $i^3$
    \[i^3=i^2\tm i=-1\tm i=-1\]
  7. $\dfrac1i$
    \[\dfrac1i=\dfrac{1\tm i}{i\tm i}=\dfrac{i}{i^2}=-i\]
  8. $i^4$
  9. $i^5$
    D'après ce qui précède, et les règles de calcul sur les puissances,
    \[i^5=i^4\tm i= i\]
  10. $i^6$
  11. $\dfrac3{i^{10}}$



Exercice 12
Soit $z_1=-1+3i$ et $z_2=4-i$.
Ecrire sous forme algébrique les nombres complexes:
  1. $z_1^2-2z_2$
    On développe déjà la première identité remarquable
    \[\bgar{ll}z_1^2&=(-1+3i)^2=(-1)^2+2(-1)(3i)+(3i)^2\\&=1-6i-9\\&=-8-6i\enar\]
    puis
    \[\bgar{ll}z_1^2-2z_2&=-8-6i-2(4-i)\\&=-8-6i-8+2i\\&=-16-4i\enar\]
  2. $z_1z_2^2$
    On a
    \[\bgar{ll}z_2^2&=(4-i)^2\\&=4^2-8i+i^2\\&=15-8i\enar\]

    puis
    \[\bgar{ll}z_1z_2^2&=(-1+3i)(15-8i)\\&=-15+8i+45i-24i^2\\&=9+53i\enar\]
  3. $\dfrac{z_1}{z_2}$
    En multipliant numérateur et dénomateur par le conjgué, on obtient
    \[\bgar{ll}\dfrac{z_1}{z_2}&=\dfrac{-1+3i}{4-i}\\&=\dfrac{(-1+3i)(4+i)}{(4-i)(4+i)}\\&=\dfrac{-7+11i}{17}\\&=-\dfrac7{17}+\dfrac{11}{17}i
  \enar\]
  4. $\dfrac1{z_1}+\dfrac1{z_2}$
    En mettant tout d'abord sur le même dénominateur
    \[\bgar{ll}&\dfrac1{z_1}+\dfrac1{z_2}
  =\dfrac1{-1+3i}+\dfrac1{4-i}\\&=\dfrac{4-i}{(-1+3i)(4-i)}+\dfrac{-1+3i}{(4-i)(-1+3i)}\\&=\dfrac{(4-i)+(-1+3i)}{-1+i+12i-3i^2}\\&=\dfrac{3+2i}{-1+13i}\\\enar\]

    puis on écrit ce quotient sous forme algébrqique en multipliant par le conjugué
    \[\bgar{ll}\dfrac1{z_1}+\dfrac1{z_2}&=\dfrac{(3+2i)(-1-13i)}{(-1+13i)(-1-13i)}\\&=\dfrac{23-41i}{170}\\&=\dfrac{23}{170}-\dfrac{41}{170}i\enar\]