@ccueil Colles

Nombres complexes




Module et argument d'un nombre complexe


Définition
On appelle module du nombre complexe $z=x+iy$, $x\in\R$, $y\in\R$, le nombre
\[|z|=OM=\sqrt{x^2+y^2}\]

Géométriquement, si $M$ est le point d'affixe $z$ dans le plan complexe, alors le module de $z$ est la distance $OM$.

L'argument du nombre complexe non nul $z$ est une mesure de l'angle orienté:
\[\arg(z)=\lp\vec{u},\V{OM}\rp\]


pspicture\put(2,2){$M(z)$}\put(2.4,-0.4){$x$}\put(-0.4,1.8){$y$}\rput{36}(1,1){\red$|z|$\scriptsize{$=\sqrt{x^2+y^2}$}}\psarc[linecolor=blue]{->}(0.4,0.3){0.8}{-20}{34}\put(1.4,0.4){\blue$\arg(z)$}


Remarques:
  • Un nombre complexe non nul $z$ a une infinité d'arguments: si $\theta$ est un de ces arguments, alors tous les autres sont de la forme $\theta+k2\pi$,   $k\in\Z$.
    On note souvent, simplement mais par abus de notation, $\mbox{arg}(z)=\theta$.
  • Si $z$ est un réel ($z=x+i\tm0$), alors $|z|=|x|$: le module coïncide avec la valeur absolue pour les nombres réels.
    Par exemple, $|6|=\sqrt{6^2}=6$, et $|-3|=\sqrt{(-3)^2}=3$.



Exercice 13
Calculer les modules des nombres complexes suivants:
  1. $z_1=1+2i$
    \[|z_1|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt5\]
  2. $z_2=2-3i$
    \[|z_2|=\sqrt{2^2+(-3)^2}=\sqrt{13}\]
  3. $z_3=-1-5i$
    \[|z_3|=\sqrt{(-1)^2+(-5)^2}=\sqrt{26}\]
  4. $z_4=3$
    \[|z_4|=\sqrt{3^2}=3\]
    Remarque: pour un nombre réel, le module coïncide avec la valeur absolue, d'où la notation.
  5. $z_5=-6$
    \[|z_5|=\sqrt{(-6)^2}=6\]
    Remarque: pour un nombre réel, le module coïncide avec la valeur absolue, d'où la notation.
  6. $z_7=8i$
    \[|z_7|=\sqrt{8^2}=8\]
  7. $z_8=-3i$
    \[|z_8|=\sqrt{(-3)^2}=3\]
  8. $z_9=\sqrt3+i$
    \[|z_9|=\sqrt{\sqrt3^2+1^2}=\sqrt4=2\]



Propriété
Soit $A(z_A)$ et $B(z_B)$, alors $\V{AB}(z_B-z_A)$ et
  • $AB=\|\V{AB}\|=|z_B-z_a|$
  • $\lp\vec{u},\V{AB}\rp=\arg(z_{\V{AB}})=\arg(z_B-z_A)$.
pspicture\rput(5.1,1.7){$M(z_B-z_A)$}\psarc[linecolor=blue]{->}(0,0){2}{0}{26}\rput(2.3,0.5){\blue$\theta$}\rput(1,3){$A(z_A)$}\rput(6,4){$B(z_B)$}\rput(3,4){$\V{AB}(z_B-z_A)$}\rput(5.05,3.3){\blue$\theta=\arg\lp z_{\V{AB}}\rp$}\rput(5.4,2.7){\blue$\arg(z_B-z_A)$}



Exercice 14
Déterminer l'ensemble des nombres complexes $z$, et représenter graphiquement ces solutions, tels que:
  1. $\arg(z)=\dfrac\pi6$
    En appliquant directement la définition, il s'agit géométriquement d'une demi-droite:
    pspicture\psplot[linecolor=red]{0}{3.5}{0.55 x mul}\psarc[linecolor=blue,arrowsize=8pt]{->}(0,0){2}{0}{30}\rput(2.2,.6){\blue$\dfrac\pi6$}
  2. $|z-3|=|z+2i|$
    Il faut connaître les deux méthodes, géométrique et algébrique.
    Méthode 1: géométrique
    Soit $M$ d'affixe $z$ un des points recherchés. En notant $A$ le point d'affixe $z_A=3$ et $B$ le point d'affixe $z_B=-2i$ et on a alors, en interprétant les modules par des longueurs:
    \[|z-3|=|z+2i|
  \iff AM=BM\]

    Ainsi, $M$ est équidistant des points $A$ et $B$: l'ensemble des points recherchés est la médiatrice de $[AB]$.
    pspicture\rput(3,0){$\tm$}\rput(3,-.3){$A$}\rput(0,-2){$\tm$}\rput(-.3,-2){$B$}\psline[linecolor=blue](3,0)(0,-2)\psplot[linecolor=red,linewidth=1.5pt]{-.2}{2.5}{-1.5 x mul 1.25 add}



    Méthode 2: algébrique
    On pose $z=x+iy$ et alors
    \[z-3=x+iy-3=(x-3)+iy\]

    d'où
    \[|z-3|=\sqrt{(x-3)^2+y^2}\]

    et de même
    \[z+2i=x+iz+2i=x+i(y+2)\]

    d'où
    \[|z+2i|=\sqrt{x^2+(y+2)^2}\]

    On a alors, en élevant au carré ces nombres positifs, puis e développant
    \[\bgar{ll}&|z-3|=|z+2i|\\\iff&|z-3|^2=|z+2i|^2\\\iff&(x-3)^2+y^2=x^2+(y+2)^2\\\iff&x^2-6x+9+y^2=x^2+y^2+4y+4
  \enar\]

    enfin, les carrés se simplifient, et en isolant $y$ on obtient une équation réduite de droite:
    \[y=-\dfrac64x+\dfrac54\]

    qui est l'équation de la médiatrice de $[AB]$ trouvée par la méthode 1.
  3. $|z+1-2i|<\sqrt5$
    Géométriquement, on pose $M$ le point d'affixe $z$ et $A$ le point d'affixe $z_A=-(1-2i)=-1+2i$ de telle façon que l'inéquation proposée s'écrive
    \[|z+1-2i|<\sqrt5\iff AM<\sqrt5\]

    Les solutions sont donc tous les points dont la distance à $A$ est strictement plus petite que $\sqrt5$: c'est le disque ouvert de rayon $\sqrt5$ et de centre $A$.
    pspicture\pscircle[linestyle=dashed,fillstyle=solid,fillcolor=c2](-1,2){2.236}\psline[linewidth=0.8pt](-3.2,0)(2.5,0)\psline[linewidth=0.8pt](0,-.5)(0,4.3)\psline[linewidth=1.4pt]{->}(0,0)(0,1)\psline[linewidth=1.4pt]{->}(0,0)(1,0)\put(0.3,-0.4){$\vec{u}$}\put(-0.4,0.3){$\vec{v}$}\rput(-1,2){$\tm$}\rput(-1.2,2.3){$A$}
  4. $\arg(z+i)=\pi$
    D'après la propriété précédente, en posant $A$ le point d'affixe $z_A=-i$ et $M$ le point recherché d'affixe $z$, on a
    \[\arg(z+i)=\pi\iff\lp\vec{u};\V{AM}\rp=\pi\]


    pspicture\rput(-.2,-1.3){$A$}\psarc[linecolor=blue]{->}(0,-1){.55}{0}{180}\rput(-.4,-.4){\blue$\pi$}



Exercice 15
Dans le plan complexe, $A$, $B$ et $C$ sont les points d'affixes: $z_A=1+i$, $z_B=4+5i$, et $z_C=5-2i$.
  1. Montrer que $AB=AC$.
    1. Déterminer l'affixe du point $G$ tel que le quadrilatère $AGBC$ soit un parallélogramme.
    2. Déterminer les affixes des points $I$ et $J$, milieux respectifs de $[GC]$ et $[AB]$.



Propriétés algébriques du module
Pour tout nombres complexes $z$ et $z'$:
  • $z\overline{z}=|z|^2=x^2+y^2$, si $z=x+iy$, $x\in\R$ et $y\in\R$
  • $|-z|=|z|$
  • $\left|\overline{z}\right|=|z|$
  • $|z+z'|\leq |z|+|z'|$ (inégalité triangulaire)
  • $|zz'|=|z|\, |z'|$ et donc $|z^n|=|z|^n$
  • $\dfrac{|z|}{z'|}=\dfrac{|z|}{|z'|}$



Exercice 16
Calculer le module des nombres complexes suivants:
  1. $z=\dfrac{1+i}{3-4i}$
    En utilisant la règle précédente sur le module d'un quotient:
    \[\bgar{ll}|z|&=\left|\dfrac{1+i}{3-4i}\right|\\&=\dfrac{|1+i|}{|3-4i|}\\&=\dfrac{\sqrt{1^2+1^2}}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}\\&=\dfrac{\sqrt2}5\enar\]
  2. $z=\lp 2+2i\rp\lp -1+i\rp$
    En utilisant la règle précédente sur le module d'un produit:
    \[\bgar{ll}|z|&=\left|\lp 2+2i\rp\lp -1+i\rp\right|\\&=|2+2i|\tm|-1+i|\\&=\sqrt{2^2+2^2}\tm\sqrt{(-1)^2+1^2}\\&=\sqrt8\tm\sqrt2=\sqrt{8\tm2}\\&=4\enar\]
  3. $z=\dfrac{i(-1-i)}{-3+4i}$
    En utilisant les règles sur le module d'un quotient et d'un produit:
    \[\bgar{ll}|z|&=\left|\dfrac{i(-1-i)}{-3+4i}\right|\\&=\dfrac{|i|\tm|-1-i|}{|-3+4i|}\\&=\dfrac{1\tm\sqrt{(-1)^2+(-1)^2}}{\sqrt{(-3)^2+4^2}}\\&=\dfrac{\sqrt2}5\enar\]
  4. $z=\dfrac{-4(2-i)}{2i(1+2i)}$
    De même que pour le calcul précédent,
    \[\bgar{ll}|z|&=\left|\dfrac{-4(2-i)}{2i(1+2i)}\right|\\&=\dfrac{|-4|\tm|2-i|}{|2i|\tm|1+2i|}\\&=\dfrac{4\tm\sqrt{2^2+(-1)^2}}{2\tm\sqrt{1^2+2^2}}\\&=\dfrac{4\sqrt5}{2\sqrt5}\\&=2\enar\]