@ccueil Colles

Nombres complexes



Equations du second degré

Propriété
Soit $a$ un nombre réel. Les solutions de l'équation $z^2=a$ sont appelées racines carrées de $a$ dans $\C$, avec
  • si $a\geq 0$, alors $a$ admet deux racines carrées réelles
    \[z=\sqrt{a} \ \text{ et } z=-\sqrt{a}\]
  • si $a<0$, alors $a$ amet deux racines imaginaires pures
    \[z=i\sqrt{-a} \ \text{ et } z=-i\sqrt{-a}\]



Exemples:
  • Les racines carrées de $2$ dans $\C$ sont $\sqrt2$ et $-\sqrt2$, qui sont aussi réelles
  • les racines carrées de $-4$ dans $\R$ n'existent pas, mais dans $\C$ sont $i\sqrt4=2i$ et $-i\sqrt4=-2i$.

Cette propriété nous donne les racines carrés de tous les nombres réels.
En particulier, même lorsque le disciminant d'une équation du second est négatif, on peut maintenant dans $\C$ lui trouver des racines carrés et donc résoudre cette équation.


Propriété: Équation du second degré
L'équation $az^2+bz+c=0$, où $a\not=0$, $b$ et $c$ sont trois réels, de discriminant $\Delta=b^2-4ac$ admet:
  • si $\Delta=0$, une solution réelle double
    \[z_0=-\dfrac{b}{2a}\]
  • si $\Delta>0$, deux solutions réelles distinctes
    \[z_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \ \mbox{ et } z_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\]
  • si $\Delta<0$, deux solutions complexes conjuguées:
    \[z_1=\dfrac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a}\  \mbox{ et } z_2=\dfrac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}\]

Dans tous les cas, le trinôme du second degré se factorise selon
\[az^2+bz+c=a(z-z_1)(z-z_2)\]
(avec éventuellement $z_1=z_2=z_0$).



Exercice 18
Résoudre dans $\C$ les équations suivantes:
  1. $z^2+z+1=0$
    On calcule le discriminant
    \[\Delta=1^2-4\tm1\tm1=-3<0\]
    Cette équation admet donc deux solutions complexes conjuguées
    \[\bgar{ll}z_1&=\dfrac{-1-i\sqrt3}2\\
  &=-\dfrac12-i\dfrac{\sqrt3}2\enar\]
    et son conjuqué
    \[z_2=-\dfrac12+i\dfrac{\sqrt3}2\]
  2. $z^2-3z+18=0$
    On calcule le discriminant
    \[\Delta=(-3)^2-4\tm1\tm18=-63<0\]
    Cette équation admet donc deux solutions complexes conjuguées
    \[\bgar{ll}z_1&=\dfrac{3-i\sqrt{63}}2\\ &=\dfrac32-i\dfrac{3\sqrt7}2\enar\]

    et son conjuqué
    \[z_2=\dfrac32+i\dfrac{3\sqrt7}2\]
  3. $z^2+9z-4=0$
    On calcule le discriminant
    \[\Delta=9^2-4\tm1\tm(-4)=97>0\]

    et cette équation admet deux solutions réelles:
    \[z_1=\dfrac{-9-\sqrt{97}}2\]

    et
    \[z_2=\dfrac{-9+\sqrt{97}}2\]
  4. $-z^2+(\sqrt{3}+1)z-\sqrt{3}=0$
    On calcule le discriminant
    (à grand renfort algébrique d'identités remarquables)
    \[\bgar{ll}\Delta&=(\sqrt3+1)^2-4\tm(-1)\tm(-\sqrt3)\\&=\sqrt3^2+2\sqrt3+1^2-4\sqrt3\\&=\sqrt3^2-2\sqrt3+1^2\\&=(\sqrt3-1)^2>0\enar\]
    et cette équation admet donc deux solutions réelles
    \[\bgar{ll}z_1&=\dfrac{-(\sqrt3+1)-(\sqrt3-1)}{2\tm(-1)}\\
  &=\sqrt3\enar\]

    et
    \[\bgar{ll}z_2&=\dfrac{-(\sqrt3+1)+(\sqrt3-1)}{2\tm(-1)}\\
  &=1\enar\]


Exercice 19
Résoudre dans $\C$ l'équation : $z^4+4z^2-21=0$.

Exercice 20
Résoudre dans $\C$ l'équation $z^4+5z^2-36=0$.

Exercice 21
On considère le polynôme $P$ défini sur $\C$ par $P(z)=z^4-4z^3+4z^2-4z+3$.
  1. Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ tels que, pour tout complexe $z$, $P(z)=(z^2+1)(az^2+bz+c)$.
  2. En déduire toutes les solutions dans $\C$ de l'équation $P(z)=0$.