Nombres complexes

Equations du second degré

Propriété

Soit

un nombre réel. Les solutions de l'équation

sont appelées racines carrées de

dans $\C$ , avec

si $a\geq 0$ , alors admet deux racines carrées réelles

$z=\sqrt{a} \ \text{ et } z=-\sqrt{a}$
si , alors amet deux racines imaginaires pures

$z=i\sqrt{-a} \ \text{ et } z=-i\sqrt{-a}$

Exemples:

Les racines carrées de dans $\C$ sont $\sqrt2$ et $-\sqrt2$ , qui sont aussi réelles
les racines carrées de dans $\R$ n'existent pas, mais dans $\C$ sont $i\sqrt4=2i$ et $-i\sqrt4=-2i$ .

Cette propriété nous donne les racines carrés de tous les nombres réels.
En particulier, même lorsque le disciminant d'une équation du second est négatif, on peut maintenant dans $\C$ lui trouver des racines carrés et donc résoudre cette équation.

Propriété: Équation du second degré

L'équation

, où $a\not=0$ ,

sont trois réels, de discriminant $\Delta=b^2-4ac$ admet:

si $\Delta=0$ , une solution réelle double
$z_0=-\dfrac{b}{2a}$
si $\Delta>0$ , deux solutions réelles distinctes
$z_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \ \mbox{ et } z_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$
si $\Delta<0$ , deux solutions complexes conjuguées:
$z_1=\dfrac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a}\ \mbox{ et } z_2=\dfrac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}$

Dans tous les cas, le trinôme du second degré se factorise selon

$az^2+bz+c=a(z-z_1)(z-z_2)$

(avec éventuellement ).

Exercice 18

Résoudre dans $\C$ les équations suivantes:

On calcule le discriminant
$\Delta=1^2-4\tm1\tm1=-3<0$
Cette équation admet donc deux solutions complexes conjuguées

$\bgar{ll}z_1&=\dfrac{-1-i\sqrt3}2\\ &=-\dfrac12-i\dfrac{\sqrt3}2\enar$
et son conjuqué
$z_2=-\dfrac12+i\dfrac{\sqrt3}2$
On calcule le discriminant
$\Delta=(-3)^2-4\tm1\tm18=-63<0$
Cette équation admet donc deux solutions complexes conjuguées
$\bgar{ll}z_1&=\dfrac{3-i\sqrt{63}}2\\ &=\dfrac32-i\dfrac{3\sqrt7}2\enar$

et son conjuqué
$z_2=\dfrac32+i\dfrac{3\sqrt7}2$
On calcule le discriminant

$\Delta=9^2-4\tm1\tm(-4)=97>0$

et cette équation admet deux solutions réelles:

$z_1=\dfrac{-9-\sqrt{97}}2$

et

$z_2=\dfrac{-9+\sqrt{97}}2$
$-z^2+(\sqrt{3}+1)z-\sqrt{3}=0$

On calcule le discriminant
(à grand renfort algébrique d'identités remarquables)
$\bgar{ll}\Delta&=(\sqrt3+1)^2-4\tm(-1)\tm(-\sqrt3)\\&=\sqrt3^2+2\sqrt3+1^2-4\sqrt3\\&=\sqrt3^2-2\sqrt3+1^2\\&=(\sqrt3-1)^2>0\enar$
et cette équation admet donc deux solutions réelles

$\bgar{ll}z_1&=\dfrac{-(\sqrt3+1)-(\sqrt3-1)}{2\tm(-1)}\\ &=\sqrt3\enar$

et

$\bgar{ll}z_2&=\dfrac{-(\sqrt3+1)+(\sqrt3-1)}{2\tm(-1)}\\ &=1\enar$