Nombres complexes

Equations du second degré

Propriété
Soit a un nombre réel. Les solutions de l'équation z2 = a sont appelées racines carrées de a dans C, avec
  • si a≥0, alors a admet deux racines carrées réelles
    z = a   et  z = −a
  • si a < 0, alors a admet deux racines carrées imaginaires pures
    z = i−a   et  z = −i−a



Exemples:
  • Les racines carrées de 2 dans C sont 2 et −2 qui sont aussi réelles.
  • Les racines carrées de −4 < 0 dans R n'existent pas, mais dans C, −4 admet deux racines carrées imaginaires pures i4 = 2i et −i4 = −2i

Cette propriété nous donne les racines carrés de tous les nombres réels.
En particulier, même lorsque le disciminant d'une équation du second est négatif, on peut maintenant dans C lui trouver des racines carrés et donc résoudre cette équation.


Propriété: Équation du second degré
L'équation az2 + bz + c = 0, où a≠0, b et c sont trois réels, et de discriminant Δ = b2 − 4ac admet:
  • si Δ = 0, une solution réelle double
    z0 = −b/2a
  • si Δ > 0, deux solutions réelles distinctes
    z1 = −b −Δ/2a   et  z2 = −b +Δ/2a
  • si Δ < 0, deux solutions complexes conjuguées
    z1 = −b −i−Δ/2a   et  z2 = −b +i−Δ/2a

Dans tous les cas, le trinôme du second degré se factorise selon
az2 + bz + c = a(z − z1)(z − z2)
(avec éventuellement z1 = z2 = z0)



Exercice 18
Résoudre dans C les équations suivantes:
  1. z2 + z + 1 = 0
    On calcule le discriminant
    Δ = 12 − 4×1×1 = −3 < 0
    Cette équation admet donc deux solutions complexes conjuguées
    z1 = −1 −i32×1
    soit
    z1 = −12 − i32
    et la deuxième racine étant le conjugué de la première:
    z2 = −12 + i32
  2. z2 − 3z + 18 = 0
    On calcule le discriminant
    Δ = (−3)2 − 4×1×18 = −63 < 0
    Cette équation admet donc deux solutions complexes conjuguées
    z1 = 3 −i632×1
    soit
    z1 = 32 − i372
    et la deuxième racine étant le conjugué de la première:
    z2 = 32 + i372
  3. z2 + 9z − 4 = 0
    On calcule le discriminant
    Δ = 92 − 4×1×(−4) = 97 > 0
    et cette équation admet deux solutions réelles:
    z1 = −9 −972
    et
    z2 = −9 +972
  4. −z2 + (3+1) z − 3 = 0
    On calcule le discriminant (à grand renfort algébrique d'identités remarquables, et en cherchant à faire apparaître un carré)
    Δ = (3+1)2 −4(−1)(3) = 3 2 + 23 + 12 −43 = 3 2 − 23 + 12 = (3 − 1)2 > 0
    et cette équation admet donc deux solutions réelles
    z1 = −(3 + 1) − (3 − 1)2 × (−1)
    soit
    z1 = 3
    et, pour la deuxième solution,
    z2 = −(3 + 1) + (3 − 1)2 × (−1)
    soit
    z2 = 1
    (solution simple à vérifier immédiatement dans l'équation de départ !)


Exercice 19
Résoudre dans C l'équation: z4 + 4z2 − 21 = 0

Exercice 20
Résoudre dans C l'équation: z4 + 5z2 − 36 = 0

Exercice 21
On considère le polynôme P défini sur C par P(z) = z4 −4z3 + 4z2 − 4z + 3
  1. Déterminer les réels a, b et c tels que, pour tout complexe z, P(z) = (z2 + 1)(az2 + bz + c)
  2. En déduire toutes les solutions dans C de l'équation P(z) = 0


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