Étude de la position relative de deux courbes
Étudier la position relative de deux courbes
et 
,
c'est déterminer quelle courbe est au-dessous ou au-dessus
de l'autre.
et ,
c'est déterminer quelle courbe est au-dessous ou au-dessus
de l'autre.Par exemple pour des fonctions
et 
définies sur ![$[-5;5]$](Position-relative-de-deux-courbes-IMG/5.png){kind=small}
,
avec les représentations graphiques:
(-4.3,-1)(-3,1)(-2,0)(-1,-.5)(0,-.5)(1,.1)(2,1)(3,2)(4,2.5)(5,2)
\rput(-5.15,-2.9){\blue\large$\mathcal{C}_f$}
\pscurve[linecolor=black,linewidth=1.6pt](-5,3)(-4,2)(-3,0)(-2,-.4)(-1,.3)(0,.5)(1,1)(2,-1.5)(3,-2)(4,-2.5)(5,-3)
\rput(-4.7,2.2){\large$\mathcal{C}_g$}
\psline[linestyle=dashed](-3.46,-4)(-3.46,3.3)
\psline[linestyle=dashed](-1.72,-4)(-1.72,3.3)
\psline[linestyle=dashed](1.46,-4)(1.46,3.3)
\rput[r](-3.5,-.25){$a$}\rput(-1.85,.25){$b$}\rput(1.3,-.3){$c$}\end{pspicture}\]](Position-relative-de-deux-courbes-IMG/6-m.png)
on a ici,
-
est au-dessous de 
sur ![$[-5;a]$](Position-relative-de-deux-courbes-IMG/9.png)
et sur ![$[b;c]$](Position-relative-de-deux-courbes-IMG/10.png)
-
est au-dessus de 
sur ![$[a;b]$](Position-relative-de-deux-courbes-IMG/13.png)
et sur ![$[c;5]$](Position-relative-de-deux-courbes-IMG/14.png)
Pour étudier algébriquement ce problème, on pose
, la différence entre les deux fonctions.
Algébriquement, on a alors
![$\begin{array}[t]{ll}\mathcal{C}_f \text{ est au-dessous de } \mathcal{C}_g
&\iff f(x)\leqslant g(x) \\[.8em]
&\iff f(x)-g(x)\leqslant0\\[.8em]
&\iff d(x) \text{ négatif}\end{array}$](Position-relative-de-deux-courbes-IMG/16.png)
![$\begin{array}[t]{ll}\mathcal{C}_f \text{ est au-dessus de } \mathcal{C}_g
&\iff f(x)\geqslant g(x) \\[.8em]
&\iff f(x)-g(x)\geqslant0\\[.8em]
&\iff d(x) \text{ positif}\end{array}$](Position-relative-de-deux-courbes-IMG/17.png)
Ainsi, en résumé,
Pour étudier la position relative des deux courbes
et 
, rprésentatives des fonctions
et 
,
on étudie le signe de la différence 
.
et , rprésentatives des fonctions
et ,
on étudie le signe de la différence .Exercice
Soit
et
Soit
et
- Représenter graphiquement les courbes
et 
et étudier graphiquement
leur position relative.
- Étudier exactement, algébriquement, leur position relative.
Voir aussi, deux autres exercices: