@ccueil Colles

Étude de la position relative de deux courbes


Étudier la position relative de deux courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$, c'est déterminer quelle courbe est au-dessous ou au-dessus de l'autre.


Par exemple pour des fonctions $f$ et $g$ définies sur $[-5;5]$, avec les représentations graphiques:
\[\psset{unit=1cm,arrowsize=8pt}
  \begin{pspicture}(-5.5,-4.2)(5.6,4)\psline{->}(-5.3,0)(5.5,0)\psline{->}(0,-4.2)(0,4)
    \multido{\i=-5+1}{11}{\psline(\i,-.1)(\i,.1)\rput(\i,-.4){$\i$}}
    \pscurve[linecolor=blue,linewidth=1.6pt](-5,-4)(-4.3,-1)(-3,1)(-2,0)(-1,-.5)(0,-.5)(1,.1)(2,1)(3,2)(4,2.5)(5,2)
    \rput(-5.15,-2.9){\blue\large$\mathcal{C}_f$}
    \pscurve[linecolor=black,linewidth=1.6pt](-5,3)(-4,2)(-3,0)(-2,-.4)(-1,.3)(0,.5)(1,1)(2,-1.5)(3,-2)(4,-2.5)(5,-3)
    \rput(-4.7,2.2){\large$\mathcal{C}_g$}
    \psline[linestyle=dashed](-3.46,-4)(-3.46,3.3)
    \psline[linestyle=dashed](-1.72,-4)(-1.72,3.3)
    \psline[linestyle=dashed](1.46,-4)(1.46,3.3)
    \rput[r](-3.5,-.25){$a$}\rput(-1.85,.25){$b$}\rput(1.3,-.3){$c$}\end{pspicture}\]

on a ici,
  • $\mathcal{C}_f$ est au-dessous de $\mathcal{C}_g$ sur $[-5;a]$ et sur $[b;c]$

  • $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $\mathcal{C}_g$ sur $[a;b]$ et sur $[c;5]$



Pour étudier algébriquement ce problème, on pose $d(x)=f(x)-g(x)$, la différence entre les deux fonctions.
Algébriquement, on a alors
  • $\begin{array}[t]{ll}\mathcal{C}_f \text{ est au-dessous de } \mathcal{C}_g 
  &\iff f(x)\leqslant g(x) \\[.8em]
  &\iff f(x)-g(x)\leqslant0\\[.8em]
  &\iff d(x) \text{ négatif}\end{array}$


  • $\begin{array}[t]{ll}\mathcal{C}_f \text{ est au-dessus de } \mathcal{C}_g 
  &\iff f(x)\geqslant g(x) \\[.8em]
  &\iff f(x)-g(x)\geqslant0\\[.8em]
  &\iff d(x) \text{ positif}\end{array}$



Ainsi, en résumé,
Pour étudier la position relative des deux courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$, rprésentatives des fonctions $f$ et $g$, on étudie le signe de la différence $d(x)=f(x)-g(x)$.



Exercice
Soit $f(x)=3x^2-2x-2$ et $g(x)=6x-2$
  1. Représenter graphiquement les courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ et étudier graphiquement leur position relative.
  2. Étudier exactement, algébriquement, leur position relative.



Voir aussi, deux autres exercices: