@ccueil Colles

Primitives



Rappel sur les dérivées


Il faut êetre au point sur le calcul de dérivée d'une fontion, par exemple,

Primitive d'une fonction

Définition
On appelle primitive d'une fonction $f$ sur un intervalle $I$, toute fonction $F$ dont la dérivée sur $I$ est $f$.
En d'autres termes,

\[F \text{ primitive de } f \iff F'=f\]



Exemples:
  1. $F(x)=x^3$ est une primitive de $f(x)=3x^2$, car $F'(x)=3x^2$.

  2. Une primitve de $f(x)=6x$ est $F(x)=3x^2$ car, on a bien $F'(x)=3\tm2x=6x=f(x)$.

    Les fonctions définies par $F(x)=3x^2+12$ et $F(x)=3x^2-25$ sont aussi des primitives de $f$ car la dérivée d'une constante ajoutée est nulle.

  3. Une primtive de la fonction $f(x)=2x-5$ est donnée par $F(x)=x^2-5x$ car on obtient en dérivant $F'(x)=x^2-5=f(x)$.

  4. On cherche une primitive de $g(x)=6x^2$.
    On sait qu'on obtient la partie "$x^2$" en dérivant $x^3$.
    Plus précisément, la dérivée de $x^3$ est $3x^2$. Pour obtenir $g(x)$ il reste donc à multiplier par 2.
    Ainsi, $G(x)={\red2\tm}x^3$ est une primitive de $g$,
    car on a bien en dérivant, $G'(x)={\red2\tm}3x^2=6x^2=g(x)$.

  5. Soit $h(x)=\dfrac2{x^2}$, alors comme la dérivée de $\dfrac1x$ est $-\dfrac1{x^2}$ on voit qu'il suffit cette fois de multiplier par 2:
    soit
    $H(x)={\red -2\tm}\dfrac1x$
    alors
    $H'(x)={\red-2\tm}\dfrac{-1}{x^2}=\dfrac2{x^2}=h(x)$
    et donc $H=-\dfrac2x$ est une primitive de $h(x)=\dfrac2{x^2}$.


Méthode générale:
On recherche une primitive d'une fonction donnée en cherchant dans les tableaux des dérivées des fonctions usuelles et opérations sur les dérivées.
Ensuite, on modifie éventuellement la primitive proposée en multipliant par une constante.
Enfin, on calcule la dérivée de la fonction proposée comme primitive pour vérifier qu'on obtient bien la fonction de départ.


Exemple:
Soit $f(x)=5x^3$.
On obtient $x^3$ en dérivant $x^4$.
Plus précisémenent, la dérivée de $x^4$ est $4x^3$ et donc, pour obtenir finalement $5x^3$, il suffit de diviser par 4 et multiplier par 5, soit $F(x)={\red\dfrac54}x^4$.
En dérivant, on obtient bien:
$F'(x)={\red\dfrac54\tm}4x^3=5x^3=f(x)$
et $F$ est ainsi bien une primitive de $f$.


Théorème
Si $F$ est une primitive de la fonction $f$, alors toutes les primitives de $f$ s'écrivent sous la forme $F+k$, où $k$ est une constante réelle quelconque.


Exemple:
$F(x)=3x^2+\dfrac1x$ est une primitive de $f(x)=6x-\dfrac1{x^2}$.
Une autre primitive est
\[\bgar{ll}G(x)&=F(x)+3\\[.6em]&=3x^2+\dfrac1x+3\enar\]

tout comme
\[\bgar{ll}H(x)&=F(x)-12,5\\[.6em]&=3x^2+\dfrac1x-12,5\enar\]


Toutes les primitives de $f$ sont données par
\[F(x)=3x^2+\dfrac1x+k\]

pour $k$ une constante réelle quelconque.


Primitives des fonctions usuelles

Primitives de polynômes


Propriété
Une primitive de la fonction $f$ définie par $f(x)=x^n$, pour un entier naturel $n$, est
\[F(x)=\dfrac1{n+1}\,x^{n+1}\]




Exemples:
  • Pour $n=0$, une primitive de $f(x)=x^0=1$ est $F(x)=\dfrac11x^1=x$
  • Pour $n=1$, une primitive de $f(x)=x^1=x$ est $F(x)=\dfrac12x^2$
  • Pour $n=2$, une primitive de $f(x)=x^2$ est $F(x)=\dfrac13x^3$
  • Pour $n=3$, une primitive de $f(x)=x^3$ est $F(x)=\dfrac14x^4$
  • ...

Pour trouver une primitive d'un polynôme, on applique la propriété précédente à chacun des termes, par exemple, pour le polynôme

\[\bgar{rcrcrcrcr}
f(x)&=&x^5&+&x^3&+&x\\[.6em]
F(x)&=&\dfrac16x^6&+&\dfrac14x^4&+&\dfrac12x^2&+&k\enar\]

pour tout constante réelle $k$.


Exercice 1
Déterminer les primitives des polynômes suivants:
a) $f(x)=x^8+x^2$
$F(x)=\dfrac19x^9+\dfrac13x^3+k$


b) $f(x)=3x^2+5x+1$
$F(x)=x^3+\dfrac52x^2+x+k$


c) $f(x)=x^9-3x^2+2$
$F(x)=\dfrac1{10}x^{10}-x^3+2x+k$


d) $f(x)=-5x^5+3$
$F(x)=-\dfrac56x^6+3x+k$


e) $f(x)=\dfrac{x^4}3-12x^2+\dfrac32$
$F(x)=\dfrac1{15}x^5-4x^3+\dfrac32x+k$


f) $f(x)=-\dfrac43x^3+6x$
$F(x)=-\dfrac13x^4+3x^2+k$


Autres fonctions


Exercice 2
Déterminer dans chaque cas les primitives des fonctions suivantes:
a) $f(x)=15x^2-\dfrac13x+2$
$F(x)=5x^3-\dfrac16x^2+2x+k$


b) $f(x)=-3x+\dfrac14x^3$
$F(x)=-\dfrac32x^2+\dfrac1{16}x^4+k$


c) $f(x)=\dfrac1{x^2}+3x$
Comme $-\dfrac1{x^2}$ est la dérivée de $\dfrac1x$, on a
$F(x)=-\dfrac1x+\dfrac32x^2+k$


d) $f(x)=-\dfrac23x+\dfrac3{x^2}$
En écrivant $\dfrac3{x^2}=3\tm\dfrac1{x^2}$, et en utilisant le fait que $-\dfrac1{x}$ est une primitive de $\dfrac1{x^2}$, on a
$F(x)=-\dfrac13x^2-\dfrac{3}{x}+k$


e) $f(x)=-\dfrac1{(x-2)^2}$
$f=\dfrac{-u'}{u^2}$ est la dérivée de $\dfrac1u$ avec $u(x)=x-2$, et donc
$F(x)=\dfrac1{x-2}+k$


f) $f(x)=\dfrac3{(2x-3)^2}$
De même qu'à la question précédente, on utilise la formule de dérivée de $\dfrac1u$ avec $u(x)=2x-3$ et $u'(x)=2$, et alors $\lp\dfrac1u\rp'=-\dfrac{u'}{u^2}=-\dfrac2{(2x-3)^2}$, et il reste à multiplier par $-\dfrac32$ pour obtenir exactement $f$, soit
$F(x)=-\dfrac32\tm\dfrac1{2x-3}+k$


g) $f(x)=\dfrac5{(-2x+1)^2}+3$
De même que pour la fonction précédente,
$F(x)=\dfrac52\tm\dfrac1{-2x+1}+3x+k$


h) $f(x)=2x\lp x^2+3\rp$
On peut soit développer, $f(x)=2x^3+6x$ qui est alors un polynôme, soit remarquer que $f$ est sous la forme $u'u$ avec $u(x)=x^2+3$, et donc une primitve est de la forme $u^2$, soit plus exactement ici
$F(x)=\dfrac12\lp x^2+3\rp^2+k$


i) $f(x)=(x+2)^3$
De même ici, avec $u(x)=x+2$, et en dérivant $u^4$,
$F(x)=\dfrac14(x+2)^4+k$


j) $f(x)=(3x-2)^4$
De même ici, avec $u(x)=3x-2$ et donc $u'(x)=3$. En dérivant $u^5$ on obtient $5u'u^4=5\tm3\tm(3x-2)^4$, et donc, en divisant par ce facteur 15,
$F(x)=\dfrac1{15}(3x-2)^5+k$


k) $f(x)=x^2\lp x^3+5\rp^3$
En dérivant $u^4$, avec $u(x)=x^3+5$ et $u'(x)=3x^2$, on obtient, $4u'u^3=12x^2\lp x^3+5\rp^3$ et donc, il reste à diviser par ce facteur 12,
$F(x)=\dfrac1{12}\lp x^3+5\rp^4+k$


l) $f(x)=\cos(x)$
$F(x)=\sin(x)+k$


m) $f(x)=\sin(x)$
$F(x)=-\cos(x)$


o) $f(x)=\cos(3x)$
Avec $u(x)=3x$, donc $u'(x)=3$, et en dérivant $\sin(u)$ on obtient $u'\cos(u)=3\cos(3x)$, d'où
$F(x)=\dfrac13\sin(3x)+k$


p) $f(x)=1-\cos(2x)$
Solution: De même que pour la fonction précédente,
$F(x)=x-\dfrac12\sin(2x)+k$


q) $f(x)=\cos\lp3x+\dfrac\pi2\rp$
$F(x)=\dfrac13\sin\lp3x+\dfrac\pi2\rp+k$


r) $f(x)=-3x+\sin\lp\dfrac1{2\pi}x\rp$
$F(x)=-\dfrac32x^2-2\pi\cos\lp\dfrac1{2\pi}x\rp+k$




Unique primitive vérifiant une condition


Toutes les primitives d'une même fonction sont définies à une constante additive près. Imposer de plus une condition sur la primitive permet de déterminer cette constante.


Exemple: Déterminer la primitive $F$ de $f(x)=3x^2+4x+1$ vérifiant de plus $F(1)=0$.

$f$ est un polynôme, et pour tout constante $k$, $F(x)=x^3+2x^2+x+k$ en est une primitive.
Maintenant,
\[\bgar{ll}F(1)&=0\iff 1^3+2\tm1^2+1+k=0\\
&\iff 4+k=0 \iff k=-4\enar\]

Ainsi, $F(x)=x^3+2x^2+x-4$ est l'unique primitive de $f$ telle que $F(1)=0$.


Exercice 3
Dans chaque cas, déterminer la primitive $F$ de $f$ vérifiant la condition donnée:
a) $f(x)=-2x+4$, et $F(2)=3$
Les primitives de $f$ sont les fonctions de la forme $F(x)=-x^2+4x+k$.
On sait de plus que $F(2)=-2^2+4\tm2+k=4+k=3$ et donc que $k=-1$.
Ainsi, la primitive recherchée est $F(x)=-x^2+4x-1$.


b) $f(x)=8x^3-3x$, et $F(1)=2$
Les primitives sont les fonctions de la forme $F(x)=2x^4-\dfrac32x^2+k$.
On sait de plus que $F(1)=2-\dfrac32+k=2$ et donc que $k=\dfrac32$.
Ainsi, la primitive recherchée est $F(x)=2x^4-\dfrac32x^2+\dfrac32$.


c) $f(x)=\dfrac1{(x+1)^2}+1$, et $F(0)=2$
Les primitives sont les fonctions de la forme $F(x)=-\dfrac1{x+1}+x+k$
On sait de plus que $F(0)=-1+0+k=2$ et donc que $k=3$.
Ainsi, la primitive recherchée est $F(x)=-\dfrac1{x+1}+x+3$


d) $f(x)=2\cos(2x)+2$, et $F\lp\dfrac\pi4\rp=1$
Les primitives sont les fonctions de la forme $F(x)=\sin(2x)+2x+k$
On sait de plus que $F\lp\dfrac\pi4\rp=\sin\lp2\tm\dfrac\pi4\rp+2\tm\dfrac\pi4+k=
=1+\dfrac\pi2+k=1$ et donc que $k=-\dfrac\pi2$.
Ainsi, la primitive recherchée est $F(x)=\sin(2x)+2x-\dfrac\pi2$




Calculs d'aire et intégrales


Définition
Soit $f$ une fonction positive sur $[a;b]$ alors l'aire du domaine
\[\mathcal{D}=\left\{ \bgar{ll}\ \\ M(x;y) \text{ tel que }
\la\bgar{ll}
&0\leqslant x\leqslant 2\\ \text{et}&0\leqslant y\leqslant f(x)\enar
\right.\\ \ \enar\ra\]
est l'intégrale de $f$ entre $a$ et $b$, noté $\dsp\int_a^b f(x)dx$.
\[\begin{pspicture}(-2,-1)(4.8,3.7)
  \psline{->}(-1.2,0)(3,0)\psline{->}(0,-0.8)(0,3.6)\newcommand{\f}[1]{#1 3 exp 0.5 mul -1 #1 2 exp mul add 2 add}
  \pscustom{\psplot{-0.6}{2.2}{\f{x}} \gsave
    \psline(2.2,0)(-.6,0)\fill[fillstyle=vlines]\grestore }
  \psplot[linewidth=1pt]{-1.}{2.5}{\f{x}}\psline[linestyle=dashed](-0.6,-0.2)(!-0.6 \space \f{-0.6} 0.4 add)\psline[linestyle=dashed](2.2,-0.2)(!2.2 \space \f{2.2} 0.4 add)\put(-1.,-0.4){$a$}\put(3.2,-0.4){$b$}\put(3.9,3.5){$\mathcal{C}_f$}\end{pspicture}\]




Propriété
Soit $f$ une fonction positive sur $[a;b]$ et $F$ une primitive de $f$, alors on a
\[\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)\]


Exemple Soit $f(x)=x^2$. L'aire du domaine hachuré ci-dessous est donc
\[A=\int_a^b f(x)dx=F(2)-F(0)\]


\[\begin{pspicture}(-1.2,-.6)(4.8,4.8)
  \psline{->}(-1.2,0)(3,0)\psline{->}(0,-0.6)(0,4.8)\newcommand{\f}[1]{#1 2 exp}
  \pscustom{\psplot{0}{2}{\f{x}} \gsave
    \psline(2,0)(0,0)\fill[fillstyle=vlines]\grestore }
  \psplot[linewidth=1pt]{-.8}{2.2}{\f{x}}\psline[linestyle=dashed](2,-0.1)(!2 \space \f{2} 0.4 add)\rput(-.1,-0.3){0}\rput(2,-0.3){$2$}\put(2.3,3.5){$\mathcal{C}_f$}\end{pspicture}\]

Ici une primitive de $f$ est $F(x)=\dfrac13x^3$, et alors $F(2)=\dfrac13\tm2^3=\dfrac83$ et $F(0)=0$.
L'aire est donc $\mathcal{A}=\dfrac83$.


Exercice 4
Calculer l'aire du domaine hachuré ci-dessous, où la courbe est celle de la fonction définie par $f(x)=0.5x+1$.
\[\begin{pspicture}(-4.5,-.5)(4.5,2.2)
  \psline{->}(-4.5,0)(4.5,0)\psline{->}(0,-0.5)(0,2.5)\newcommand{\f}[1]{#1 0.5 mul 1 add}\pscustom{\psplot{-2}{2}{\f{x}} \gsave
    \psline(2,0)(-2,0)\fill[fillstyle=vlines]\grestore }
  \psplot[linewidth=1pt]{-2.9}{2.9}{\f{x}}\rput(-2,-0.3){$-2$}\rput(2,-0.3){$2$}\end{pspicture}\]

Exercice 5
Calculer l'aire du domaine hachuré ci-dessous, où la courbe est celle de la fonction définie par $f(x)=\cos(x)+1$.
\[\begin{pspicture}(-4.5,-.5)(4.5,2.2)
  \psline{->}(-4.5,0)(4.5,0)\psline{->}(0,-0.5)(0,2.5)
  \newcommand{\f}[1]{#1 180 mul 3.1415 div cos 1 add}
  \pscustom{\psplot{-3.14}{3.14}{\f{x}} \gsave
    \psline(3.14,0)(-3.14,0)\fill[fillstyle=vlines]\grestore }
  \psplot[linewidth=1pt]{-4.4}{4.4}{\f{x}}\rput(-3.14,-0.3){$-\pi$}\rput(3.14,-0.3){$\pi$}\end{pspicture}\]


Exercice 6
Dans un repère orthonormé, on considère le domaine $\mathcal{D}$ compris entre les courbes d'équations $y=\sqrt{x}$ et $y=x^2$.


Déterminer l'aire du domaine $\mathcal{D}$.
\begin{pspicture}(-.15,-.15)(1.15,1.25)
  \nwc\f[1]{#1 0.5 exp}\nwc\g[1]{#1 #1 mul}
  \pscustom{\psplot[plotpoints=100]{0}{1}{\f{x}}\gsave
    \psline(1,0)(0,0)\fill[fillstyle=solid,fillcolor=gray]\grestore}
  \pscustom{\psplot[plotpoints=100]{0}{1}{\g{x}}\gsave
    \psline(1,0)(0,0)\fill[fillstyle=solid,fillcolor=white]\grestore}
  \psline{->}(-0.1,0)(1.25,0)\psline{->}(0,-0.1)(0,1.15)\psline[linestyle=dashed](0,1)(1,1)(1,0)
  \rput(1,-0.08){$1$}\rput(-0.08,1){$1$}
\end{pspicture}\]
Indication: on pourra se rappeler que $\sqrt{x}=x^{1/2}$, donc de la forme $x^n$, afin de chercher une primitive.

Exercice 7
Calculer l'aire du domaine, hachuré sur la figure ci-dessous, délimité par les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ définies par $f(x)=x^3+4$ et $g(x)=3x^2$.
\[\begin{pspicture}(-1.5,-1)(2.5,13)
\psline{->}(-1.5,0)(2.5,0)\psline{->}(0,-.5)(0,12.5)\newcommand{\f}[1]{#1 3 exp 4 add}\newcommand{\g}[1]{x 2 exp 3 mul}
\psplot{-1.3}{2.1}{\f{x}}\psplot{-1.3}{2.1}{\g{x}}
\pscustom{\psplot{-1}{2}{\f{x}}\gsave
\psplot{2}{-1}{\g{x}}\fill[fillstyle=vlines]\grestore}
\psline[linestyle=dashed](-1,0)(-1,3)\rput(-1,-.8){$-1$}\psline[linestyle=dashed](2,0)(2,12)\rput(2,-.8){$2$}\end{pspicture}\]




Voir aussi: