@ccueil Colles

Méthodes de résolution de systèmes de deux équations à deux inconnues





Système de deux équations à deux inconnues


Soit $ a$ et $ b$, $ c$, $ a'$, $ b'$ et $ c'$ six réels.
On appelle système linéaires de deux équations à deux inconnues le système:
\[\la\bgar{rcrcl}
ax&+&by&=&c\\
a'x&+&b'y&=&c'
\enar\right.\]

Résoudre le sytème consiste à trouver tous les couples $ (x;y)$ qui vérifient simultanément les deux équations.
Les solutions de ce systèmes sont les valeurs des nombres réels $x$ et $y$ solutions simultanément des deux équations.

Ce couple $(x;y)$ est aussi, s'il existe, les coordonnées du point d'intersection des deux droites d'équations cartésiennes $ax+by=c$ et $a'x+b'y=c'$.


Exemples:
  1. Système 1: déterminer $x$ et $y$ tels que  \[\la\bgar{rcrcl}
3x&-&y&=&1\\
x&+&y&=&3\enar\right.\]

  2. Système 2: déterminer $x$ et $y$ tels que  \[\la\bgar{rcrcl}
2x&+&y&=&-1\\
2x&+&2y&=&2\enar\right.\]


Résolution par substitution


La méthode par substitution entend substituer une inconnue à l'autre en utilisant une des deux équations.
En d'autres termes, on va par exemple exprimer $y$ en fonction de $x$ dans une équation, puis substituer cette expression à la variable $y$ dans l'autre équation.
Par exemple, pour les deux systèmes précédents:
  1. Système 1: \[\la\bgar{rcrcl}
3x&-&y&=&1\\
x&+&y&=&3\enar\right.\]
    La deuxième équation nous donne
    \[x+y=3\iff y=3-x\]

    puis en substituant cette expression dans la 1ère équation:
    \[\bgar{ll}3x-y=1&\iff 3x-\bigl(3-x\bigr)=1\\
&\iff 4x-3=1\\
&\iff x=1\enar\]

    Enfin, on substitue aussi cette valeur dans une des deux équations (ou les deux pour vérifier qu'on obtient bien le même résultat):

    \[x+y=3\iff 1+y=3\iff y=2\]

    Ainsi, la solution du système est
    \[\la\bgar{lcl}x&=&1\\y&=&2\enar\right.\]


  2. Système 2:  \[\la\bgar{rcrcl}
2x&+&y&=&-1\\
2x&+&2y&=&2\enar\right.\]
    La première équation permet d'exprimer simplement $y$:
    \[2x+y=-1\iff y=-1-2x\]

    puis, en substituant dans la deuxième équation
    \[\bgar{ll}2x+2y=2&\iff 2x+2\bigl(-1-2x\bigr)=2\\
&\iff -2x-2=2\\
&\iff -2x=4\\
&\iff x=-2\enar\]

    Enfin, on substitue aussi cette valeur dans une des deux équations (ou les deux pour vérifier qu'on obtient bien le même résultat):
    \[\bgar{ll}&2x+y=-1\\
\iff&2\tm(-2)+y=-1\\
\iff&y=3\enar\]

    Ainsi, la solution du système est
    \[\la\bgar{lcl}x&=&-2\\y&=&3\enar\right.\]




Exercice:
Résoudre les systèmes suivants:
  1. $\la\bgar{rcrcl}%x=3;y=-4
x&-&2y&=&11\\
2x&+&y&=&2\enar\right.$

    Solution:


  2. $\la\bgar{rcrcl}%x=5;y=4
2x&-&y&=&6\\
-x&+&2y&=&3\enar\right.$
    Solution:


  3. $\la\bgar{rcrcl}%x=-6;y=2
x&+&2y&=&-2\\
-x&+&3y&=&0\enar\right.$ Solution:


Résolution par combinaison


La méthode par combinaison vise à "supprimer" une inconnue en combinant les deux équations: en les ajoutant, les soustrayant, après éventuellement les avoir mulitpliées par un nombre.

  1. Dans le système 1, premier système en exemple,
    \[\la\bgar{rcrcl}
3x&-&y&=&1\\
x&+&y&=&3\enar\right.\]

    on voit par exemple qu'en ajoutant termes à termes les deux équations, l'inconnue $y$ disparaît:

    \[\bgar{ll}
\la\bgar{rcrcl}
3x&-&y&=&1\\
x&+&y&=&3\enar\right.
\\[1.4em]
\psline(0,.55)(3.8,.55)
%4x&+&0&=&4
\hspace{1.2em}4x\hspace{.7em}+\ \ 0 \ \, = \ \, 4
\enar\]

    soit donc facilement maintenant:
    \[4x=4\iff x=1\]

    On pourrait procéder de même pour l'autre inconnue ou plus simplement maintenant substituer ce résultat dans une des deux équations:

    \[x+y=3\iff1+y=3\iff y=2\]

    d'où la solution
    \[\la\bgar{lcl}x&=&1\\y&=&2\enar\right.\]




  2. Pour le deuxième système donné en exemple:
    \[\la\bgar{rcrcr}
2x&+&y&=&-1\\
2x&+&2y&=&2\enar\right.\]

    on voit cette fois qu'en soustrayant terme à terme les deux équations, la deuxième à la première par exemple, l'inconnue $x$ disparaît:

    \[\bgar{ll}
\la\bgar{rcrcr}
2x&+&y&=&-1\\
2x&+&2y&=&2\enar\right.\\[1.4em]
\psline(0,.55)(4.2,.55)
%4x&+&0&=&4
\hspace{1.6em}0\hspace{.9em}-\hspace{.9em} y \ \ = \ \, -3
\enar\]

    d'où on tire facilement $y=3$, puis en substituant dans la première équation

    \[\bgar{ll}
2x+y=-1&\iff2x+3=-1\\
&\iff2x=-4\\
&\iff x=-2\enar\]

    d'où la solution
    \[\la\bgar{lcl}x&=&-2\\y&=&3\enar\right.\]




  3. Un dernier exemple, dans lequel ni l'addition, ni la soustraction ne permet d'éliminer directement une inconnue, par exemple le système

    \[\la\bgar{rcrcr}
2x&+&3y&=&13\\
x&-&y&=&-1\enar\right.\]

    Pour éliminer, par exemple pour commencer, l'inconnue $x$, on peut pour se ramener aux cas plus simples précédents, tout d'abord multiplier la deuxième équation par 2:

    \[\la\bgar{rcrcr}
2x&+&3y&=&13\\
2x&-&2y&=&-2\enar\right.\]

    On peut alors soustraire la deuxième équation à la première:

    \[\bgar{ll}
\la\bgar{rcrcr}
2x&+&3y&=&13\\
2x&-&2y&=&-2\enar\right.\\[1.4em]
\psline(0,.55)(4.2,.55)
\hspace{1.6em}0\hspace{.7em}+\hspace{.7em} 5y \ \ = \ \ \, 15
\enar\]

    d'où on tire facilement $y=3$.
    Enfin, pour utiliser la même méthode pour trouver $x$, on peut multiplier la deuxième équation par 3, puis ajouter les deux équations:

    \[\bgar{ll}
\la\bgar{rcrcr}
2x&+&3y&=&13\\
3x&-&3y&=&-3\enar\right.\\[1.4em]
\psline(0,.55)(4.2,.55)
\hspace{1.6em}5x\hspace{.4em}+\hspace{1em} 0 \ \ = \ \ \, 10
\enar\]

    qui nous délivre $x=2$.
    La solution du système est finalement
    \[\la\bgar{lcl}x&=&2\\y&=&3\enar\right.\]




Exercice
Résoudre les systèmes de l'exercice précédent par combinaison.


Voir aussi: