Fonction du second degré…

…avec un paramètre…


Soit , où désigne un nombre réel.
  1. Pour quelle valeur de le nombre est-il racine de ?
    Déterminer alors l'autre racine.
  2. Déterminer les valeurs de pour lesquelles admet deux racines distinctes.
  3. Existe-t'il des valeurs de telles que, pour tout réel , ?

Solution:


Soit , où désigne un nombre réel.
  1. .
    Le produit des racines valant , on en déduit que la deuxième racine est .
  2. admet deux racines distinctes si et seulement si , soit .
    est un trinôme du second degré qui a pour racines évidentes et , et qui est positif à l'extérieur de ses racines.
    Ainsi, admet 2 racines .
  3. .
    Ce trinôme est toujours positif (ne change jamais de signe, et en particulier ne s'annule jamais) si , ce qui est impossible, un carré étant toujours positif ou nul.
    Ainsi, il n'existe pas de valeur de telle que pour tout réel .


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