Inégalité sur des fonctions dérivées

ROC et Application


  1. Soit $ f$ et $ g$ deux fonctions dérivables sur $ I=[0;1]$ telles que $ f(0)=g(0)$ et pour tout $ x\in[0;1]$ , $ f'(x)\leqslant g'(x)$ .


    Démontrer que pour tout $ x\in I$ , $ f(x)\leqslant g(x)$ .

    (Indication: on pourra étudier les variations de la fonction $ f-g$ .)


  2. Application. Soit les fonctions $ f$ et $ g$ définies sur $ I=[0;1]$ par $ f(x)=\dfrac{1}{1+x}$ et $ g(x)=2x^3+1$ .

    Montrer que pour tout $ x\in[0;1]$ , $ f(x)\leqslant g(x)$ .

Solution:


  1. Soit la fonction $ h$ définie sur $ I$ par $ h(x)=f(x)-g(x)$ .

    Alors, pour tout $ x\in I$ , $ h'(x)=f'(x)-g'(x)$ , et donc, comme $ f'(x)\leqslant g'(x)$ , pour tout $ x\in I$ , $ h'(x)\leqslant 0$ .

    On en déduit que la fonction $ h$ est décroissante sur $ I$ .

    On sait de plus que $ h(0)=f(0)-g(0)=0$ , et donc le tableau de variation de $ h$ :

    $\displaystyle \begin{tabular}{\vert c\vert ccc\vert}\hline
$x$\ & $0$\ &\ \ &$...
... $h(x)$\ && \psline{->}(-0.3,0.5)(0.6,-0.3)&\\
&&&\\ \hline
\end{tabular}
$

    On en déduit en particulier que pour tout $ x\in I$ , $ h(x)=f(x)-g(x)\leqslant 0$ , c'est-à-dire que $ f(x)\leqslant g(x)$ .

  2. Soit $ f(x)=\dfrac{1}{1+x}$ et $ g(x)=2x^3+1$ . On a $ f(0)=g(0)=1$ .

    De plus, pour tout $ x\in I$ , $ f'(x)=-\dfrac{1}{(1+x)^2}$ et $ g'(x)=6x^2$ , d'où,

    $\displaystyle f'(x)-g'(x)
=-\dfrac{1}{\left(1+x\right)^2}-6x^2
=-\left(\dfrac{1}{\left(1+x\right)^2}+6x^2 \right)
$

    Or, pour tout $ x\in[0;1]$ , $ 6x^2\geqslant 0$ et $ \dfrac{1}{(1+x)^2}>0$ . On a donc, pour tout $ x\in I$ , $ f'(x)-g'(x)<0 \iff f'(x)<g'(x)$ .

    On en déduit donc, d'après la question 1., que pour tout $ x\in I$ , $ f(x)\leqslant g(x)$ .



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