Etude de fonction

Etude à l'aide d'une fonction auxiliaire

Exercice corrigé - Etudes de fonctions, à l'aide d'une fonction auxiliaire et du théorème des valeurs intermédiaires


On considère la fonction $ f$ définie sur $ {\rm I\kern-.1567em R}\setminus\left\{-1;1\right\}$ par l'expression $ \displaystyle f(x)=\frac{x^3+2x^2}{x^2-1}$ .

On note $ \mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère $ (O;\vec{i},\vec{j})$ .


A.
Etude d'une fonction auxiliaire.

On pose $ g(x)=x^3-3x-4$ .

  1. Etudier le sens de variation de $ g$ .
  2. Montrer que l'équation $ g(x)=0$ admet une unique solution, que l'on notera $ \alpha$ , dans l'intervalle $ [1;3]$ .
  3. Donner un encadrement de $ \alpha$ à 0,1 près.
  4. En déduire le signe de $ g(x)$ selon les valeurs de $ x$ .



B.
Etude des variations de $ f$ .

Calculer $ f'(x)$ , et montrer que $ \displaystyle f'(x)=\frac{xg(x)}{(x^2-1)^2}$ . En déduire le tableau de variation de $ f$ .



C.
Tangente.

Déterminer l'équation de la tangente $ (T)$ à $ \mathcal{C}_f$ au point d'abscisse 2.


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