Etude d'une fonction avec un param├Ętre

Sens de variation selon le param├Ętre


$ a$ désigne un nombre réel.

$ f$ est la fonction définie sur $ {\rm I\kern-.1567em R}$ par: $ f(x)=ax^3+x^2+x+1$ .

  1. On suppose $ a=0$ . Déterminer les variations de $ f$ .
  2. On suppose maintenant $ a\not=0$ .
    a) Pour tout nombre $ x$ , calculer $ f'(x)$ .
    b) Pour quelles valeurs de $ a$ , la fonction $ f$ est-elle croissante sur $ {\rm I\kern-.1567em R}$ ?

Solution:


  1. On suppose $ a=0$ , et on a donc $ f(x)=x^2+x+1$ . Pour tout $ x$ réel, $ f'(x)=2x+1$ . Ainsi, $ f$ est décroissante sur $ ]-\infty;-\frac{1}{2}]$ et croissante sur $ [-\frac{1}{2};+\infty[$ .

  2. On suppose maintenant $ a\not=0$ .
    a) Pour tout nombre $ x$ , $ f'(x)=3ax^2+2x+1$ .

    b) Le discriminant du trinôme $ f'(x)$ est $ \Delta=4-12a$ .

    $ f$ est croissante sur $ {\rm I\kern-.1567em R}$ si et seulement si sa dérivée $ f'$ est toujours positive sur $ {\rm I\kern-.1567em R}$ , et donc si et seulement si $ a>0$ et $ \Delta\leqslant0$ .


    $ \Delta=4-12a\leqslant0\iff a\geqslant 3$ .

    $ f$ est donc croissante sur $ {\rm I\kern-.1567em R}$ si et seulement si $ a\geqslant3$ .



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