Etude de fonctions

Etude à l'aide d'une fonction auxiliaire


$ f$ est la fonction définie sur $ {\rm I\kern-.1567em R}$ par l'expression:      $ f(x)=2x^3-3x^2-1$ .

  1. a. Dresser le tableau de variation de $ f$ .
    b. Tracer la courbe représentative de la fonction $ f$ .

  2. a. Montrer que l'équation $ f(x)=0$ admet une unique solution $ \alpha$ sur $ {\rm I\kern-.1567em R}$ , et que $ \alpha\in[1;2]$ .
    b. Donner un encadrement à $ 10^{-2}$ près de $ \alpha$ .
    c. Déduire de ce qui précède le signe de $ f(x)$ .

  3. Soit $ g$ la fonction définie sur $ {\rm I\kern-.1567em R}\setminus\left\{-1\right\}$ par l'expression:      $ g(x)=\dfrac{1-x}{1+x^3}$ .

    a. Déterminer, pour tout nombre $ x\not=-1$ , $ g'(x)$ .
    b. Dresser alors le tableau de variation de $ g$ .

Solution:


  1. a.
    Pour tout $ x$ réel,

    $\displaystyle f'(x)=6x^2-6x=6x(x-1)\ .$

    $\displaystyle \begin{tabular}{\vert c\vert ccccccc\vert}\hline
$x$\ & $-\infty...
...&&
\psline{->}(-0.3,-0.3)(0.6,0.4)&
\\
&&&&&$-2$&&\\ \hline
\end{tabular} $

    b.


    \begin{pspicture}(-5,-4)(5,2.)
\psline{->}(-3,0)(3,0)
\psline{->}(0,-3.6)(0,2....
...d}
\psline{<->}(-0.7,-1)(0.7,-1)
\psline{<->}(0.3,-2)(1.7,-2)
\end{pspicture}

  2. a.
    On a $ f(1)=-2<0$ et $ f(2)=3>0$ . De plus, $ f$ est dérivable, strictement croissante sur $ [1;2]$ , donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $ f(x)=0$ admet sur $ [1;2]$ une unique solution $ \alpha$ .

    De plus, sur $ ]-\infty;0]$ , $ f$ est dérivable et strictement croissante avec $ f(0)=-1<0$ , et donc l'équation $ f(x)=0$ n'admet aucune solution sur $ ]-\infty;0]$ .

    De même, sur $ [0;1]$ , $ f$ est dérivable et strictement décroissante avec $ f(0)=-1<0$ , donc l'équation $ f(x)=0$ n'admet aucune solution sur $ [0;1]$ .

    Enfin, sur $ [2;+\infty[$ , $ f$ est dérivable et strictement croissante avec $ f(2)=3>0$ , et donc l'équation $ f(x)=0$ n'admet aucune solution sur $ [2;+\infty[$ .


    Finalement, l'équation $ f(x)=0$ admet une unique solution $ \alpha$ sur $ {\rm I\kern-.1567em R}$ et $ \alpha\in[1;2]$ .

    b.
    A l'aide de la calculatrice (avec un tableau de valeurs, ou avec la méthode par dichotomie), on trouve $ 1,67<\alpha<1,68$ .
    c.
    On en déduit le signe de $ f(x)$ :

    $\displaystyle \begin{tabular}{\vert c\vert ccccc\vert}\hline
$x$\ & $-\infty$\...
...(x)$\ && $-$\ & \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}& $+$\ &\\ \hline
\end{tabular} $

  3. Soit $ g$ la fonction définie sur $ {\rm I\kern-.1567em R}\setminus\left\{-1\right\}$ par l'expression:      $ g(x)=\dfrac{1-x}{1+x^3}$ .

    a.
    Pour tout nombre $ x\not=-1$ , $ g'(x)=\dfrac{-1\times (1+x^3)-(1-x)\times 3x^2}{\left(1+x^3\right)^2}
=\dfrac{f(x)}{\left(1+x^3\right)^2}
$
    b.

    $\displaystyle \begin{tabular}{\vert c\vert ccccccc\vert}\hline
$x$\ & $-\infty...
...w$}
&&
\Large {$\nearrow$}&
\\
&&&&&$g(\alpha)$&&\\ \hline
\end{tabular} $



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