Lecture graphique du nombre dérivé

Etude du carré de la fonction

On donne ci-contre une partie de la courbe $ \mathcal{C}_f$ représentant une fonction $ f$ définie et dérivable sur $ {\rm I\kern-.1567em R}$ .

La droite $ \Delta$ est tangente à $ \mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $ 1$ .

La tangente à $ \mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $ 2$ est parallèle à l'axe des abscisses.


  1. Par lecture graphique, donner sans justifier:
    a. $ f(0)$ , $ f(1)$ , $ f'(1)$ , $ f'(2)$
    b. Le tableau de variation de $ f$ .

  2. Soit $ h$ la fonction définie par $ h(x)=\left[f(x)\right]^2$ .
    a. Exprimer $ h'(x)$ en fonction de $ f(x)$ et de $ f'(x)$ .
    b. Etudier le signe de $ h'(x)$ sur $ [0;2]$ et en déduire les variations de $ h$ .


\begin{pspicture}(-3,-3.2)(5,4.5) \psline[linewidth=0.8pt]{->}(-2.5,0)(4.3,0) ... ...h=1pt]{-2.5}{3.2}{-1.5 x mul 1.5 add} \rput(-1.6,4.6){$\Delta$} \end{pspicture}

Solution:


  1. a. $ f(0)=1$ , $ f(1)=0$ , $ f'(1)=-\dfrac{3}{2}$ , $ f'(2)=0$
    b.
    $\displaystyle \begin{tabular}{\vert c\vert ccccccc\vert}\hline $x$\ & $-\infty... ... {$\searrow$} &&\LARGE {$\nearrow$} &\\ &&&&&$-1$&&\\ \hline \end{tabular}$


  2. Soit $ h$ la fonction définie par $ h(x)=\left[f(x)\right]^2$ .
    a. Pour tout $ x$ réel, $ h'(x)=2f'(x)f(x)$ .
    b.
    $\displaystyle \begin{tabular}{\vert c\vert ccccc\vert}\hline $x$\ & $0$\ && $1... ...RGE {$\searrow$} && \LARGE {$\nearrow$} & \\ &&&$0$&&\\ \hline \end{tabular}$


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