Fonction avec deux paramètres

Ajustement à l'aide d'une tangente


Soit $ \mathcal{C}$ la représentation graphique de la fonction $ f$ définie sur $ {\rm I\kern-.1567em R}\setminus\left\{2\right\}$ par:

$\displaystyle f(x)=\dfrac{x^2+ax+b}{x-2}
\qquad
a,b\ \in{\rm I\kern-.1567em R}\ .
$

  1. Calculer $ f'(x)$ .
  2. Déterminer $ a$ et $ b$ tels que la droite d'équation $ y=8$ soit tangente à $ \mathcal{C}$ au point d'abscisse 3.

Solution:


  1. Pour tout $ x\in{\rm I\kern-.1567em R}\setminus\left\{2\right\}$ ,

    $\displaystyle f'(x)
=\dfrac{(2x+a)(x-2)-(x^2+ax+b)}{(x-2)^2}
=\dfrac{x^2-4x-2a-b}{(x-2)^2}
$

  2. La tangente à $ \mathcal{C}$ au point d'abscisse 3 a pour équation:

    $ y=f'(3)(x-3)+f(3)=f'(3)x-3f'(3)+f(3)$ .

    On doit donc avoir, pour cette tangente ait pour équation $ y=8$ , $ \left\{\begin{array}{ll}
f'(3)=0 \\
-3f'(3)+f(3)=8
\end{array}\right.$

    soit, $ \left\{\begin{array}{ll}
f'(3)=0 \\
f(3)=8
\end{array}\right.
\iff
\left...
... \iff
\left\{\begin{array}{ll}
2a+b=-3 \\
3a+b=-1
\end{array}\right.
\iff$ \fbox{
$\left\{\begin{array}{ll}
a=2 \\
b=-7
\end{array}\right.$}



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