Etude de fonction avec une racine carrée
Dérivée, sens de variation, encadrements
On appelle



- Montrer que, pour tout
,
.
- Dresser le tableau de variation de
.
En déduire que, pour tout réel positif
,
.
- Tracer la courbe
de
dans le plan muni d'un repère
d'unité 2cm en abscisse et 5cm en ordonnée.
- Montrer que l'équation
admet une unique solution
sur
.
Donner un encadrement de
à
près.
Solution:
On appelle



- Pour tout
,
- Pour tout
,
et
. Ainsi,
est du signe de
:
D'après le tableau de variation de
, pour tout
,
, d'où, en mulipliant par
,
.
-
- La fonction
est dérivable sur
, strictement croissante sur
avec
et
.
Ainsi, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique réel
tel que
.
A l'aide de la calculatrice, on trouve que
et
.
Ainsi,
.
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