Second degré

Intersection d'une parabole et d'une droite


Soit la fonction $ f$ définie sur $ {\rm I\kern-.1567em R}$ par $ f(x)=9x^2+3x+1$ . On note $ \mathcal{P}$ la parabole représentant graphiquement $ f$ dans un repère.


1) Pour $ p$ un nombre réel, on note $ (\mathcal{D}_p)$ la droite d'équation $ y=x+p$ .
Pour quelles valeurs de $ p$ la droite $ (\mathcal{D}_p)$ coupe-t-elle la parabole en un seul point ? en deux points disctincts ?
2) Pour $ m$ un nombre réel, on note $ (\Delta_m)$ la droite d'équation $ y=mx$ .
Pour quelles valeurs de $ m$ la droite $ (\Delta_p)$ coupe-t-elle la parabole en un unique point ?

Solution:


1) La parabole coupe la droite $ (\mathcal{D}_p)$ aux éventuels points d'abscisse $ x$ tel que $ f(x)=x+p$ , soit $ 9x^2+3x+1=x+p$ , ou encore $ 9x^2+2x+1-p=0$ .

Le discriminant de cette équation du second degré est : $ \Delta=4-4\times 9\times (1-p)=4(-8+9p)$ .

La parabole coupe cette droite en un seul point si et seulement si $ \Delta=0$ , soit $ -8+9p=0$ , et donc si et seulement si $ p=\frac{8}{9}$ .

La parabole coupe cette droite en deux points distincts si et seulement si $ \Delta>0$ , c'est-à-dire si et seulement si $ p>\frac{8}{9}$ .


2) La parabole coupe la droite $ (\Delta_m)$ aux éventuels points d'abscisse $ x$ tel que $ f(x)=mx$ , soit $ 9x^2+3x+1=mx$ , ou encore $ 9x^2+(3-m)x+1=0$ .

La parabole coupe cette droite en un unique point si et seulement si le discriminant de cette équation est nul: $ \Delta=(3-m)^2-4\times 9=0$ , soit $ m^2-6m+9-36=m^2-6m-27=0$ .

Le discriminant de cette dernière équation est $ \Delta'=36+4\times 27=144=12^2$ . Elle admet donc deux solutions réelles distinctes $ m=\frac{6-12}{2}=-3$ et $ m=\frac{6+12}{2}=9$ .

Finalement, la parabole coupe $ (\Delta_m)$ en un seul point pour $ m=-3$ et $ m=9$ .



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