Position relative de deux courbes

Étude de signe


On note $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R^*$ par $f(x)=\dfrac1x$ et $g(x)=-x+2$.
Étudier la position relative de $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.

Solution:


$f(x)-g(x)=\dfrac1x-(-x+2)
=\dfrac{x^2-2x+1}{x}
=\dfrac{(x-1)^2}{x}$.
Comme pour tout réel $x$, $(x-1)^2\geqslant0$, on a:
  • $\mathcal{C}_f$ est au-dessous de $\mathcal{C}_g$ sur $]-\infty;0[$
  • $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $\mathcal{C}_g$ sur $]0;1[\cup]1;+\infty[$
  • $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ se coupent au point d'abscisse 1.


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