Probabilité

Loi géométrique tronquée


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Un client cherche à joindre par téléphone un service de dépannage. La probabilité que son appel soit pris sans attente est de $ 0,25$ . Si son appel n'est pas pris sans attente, le client raccroche son téléphone et fait une autre tentative.

Le client fait au maximum trois tentatives.

On note $ X$ la variable aléatoire égale au rang de son premier appel aboutissant sans attente. Si au bout de trois appels le client n'a pas réussi à joindre le service de dépannage sans attente, on convient alors que $ X=0$ .

On note $ R$ l'événement: "Le client est mis en relation avec le service de dépannage sans attente."

  1. Représenter la situation par un arbre de probabilités.
  2. Quelles valeurs peut prendre la variable aléatoire $ X$ ?

    Déterminer alors la loi de probabiltié de $ X$ (présenter les résultats dans un tableau).

  3. Déterminer l'espérance de la variable aléatoire $ X$ , et interpréter ce résultat.

Solution:



  1. \begin{pspicture}(-0.5,-1.4)(6,2.5)
\psline(0,0)(1.5,1)\rput(1.75,1){$\overline...
...2$}
\rput(4.7,2.75){\small$0,75$}\rput(4.7,1.25){\small$0,25$}
\end{pspicture}

  2. La variable aléatoire $ X$ peut être égale à: 0 ; $ 1$ ; $ 2$ ou $ 3$ .
    $ k$ 0 1 2 3
    $ P(X=k)$ 0,42 0,25 0,19 0,14

  3. $ E(X)\simeq0\times 0,42+1\times 0,25+2\times 0,19+3\times 0,14
\simeq1,05$ :

    en moyenne, le client joindra le service clientèle en un peu plus d'un appel.



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