Probabilité - Loi binomiale

Contrôle qualité dans une usine de composants électronique


Une entreprise fabrique des composants électroniques. Un contrôle de qualité a établi que la probabilité qu'un composant soit défectueux à la sortie de la chaîne de production est égale à $ 0,05$ .


L'entreprise propose à la vente des lots de 20 composants.

On note $ X$ la variable aléatoire égale au nombre de composants défectueux dans un lot.

  1. Montrer que la variable aléatoire $ X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

  2. Déterminer la probabilité pour qu'un lot contienne ne contienne aucun composant défectueux.

  3. Déterminer la probabilité pour qu'un lot contienne strictement moins de 10% de composants défectueux.

  4. Un client souhaite acheter un nombre plus important de composants et désire donc les acheter par lot de 30.

    Déterminer la probabilité pour que dans un tel lot il y ait strictement moins de 10% de composants défectueux.

Solution:


  1. Pour faire un lot, on répète $ n=20$ fois l'expérience aléatoire consistant à tirer au hasard un composant électronique dans la production.

    Chaque tirage est une épreuve de Bernoulli pour laquelle le succès est de tirer un composant défectueux avec la probabilité $ p=0,05$ .

    Ses répétitions sont identiques et indépendantes entre elles.

    On en déduit que la variable aléatoire $ X$ , comptant le nombre de succès sur ces 20 répétitions, suit la loi binomiale $ \mathcal{B}(20;0,05)$ .

  2. L'événement "ne contenir aucun composant défectueux" est l'événement "$ X=0$ "; sa probabilité est:

    $\displaystyle P(X=0)
=\left(\begin{array}{c} 20\\ 0\end{array}\right)p^0(1-p)^{20-0}
=0,95^{20}\simeq 0,3584\ .
$

    La probabilité qu'il n'y ait aucun composant défectueux dans un lot est environ de $ 0,36$ .

  3. 10% d'objets dans lot correspondent à $ 10\,\%\times 20=2$ composants défectueux.

    La probabilité qu'il y ait strictement moins de 10% d'objets défectueux est donc de:

    \begin{displaymath}\begin{array}{ll}
P(X<2)
&=P(X=0)+PX(X=1) \\
&\simeq 0,35...
... 0,358+20\times 0,05\times 0,95^{19}
\simeq 0,73
\end{array} \end{displaymath}

    La probabilité qu'il y ait astrictement moins de 10% de composants défectueux est donc d'environ 0,73.
  4. En procédant comme précédemment, avec $ n=40$ , 10% des composants correspondant alors à 3 composants,

    $\displaystyle P(X<3)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)
$

    avec:

    \begin{displaymath}\begin{array}{ll}
P(X=0) &= \left(\begin{array}{c} 30\\ 0\en...
...}
=435\times 0,05^2\times 0,95^{28} \simeq 0,26
\end{array} \end{displaymath}

    La probabilité qu'un lot de composants contiennent strictement moins de 10% de composants défectueux est donc $ P(X<3)\simeq 0,81$ .


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