Probabilité

Loi binomiale


Une attraction dans une fête foraine permet de gagner soit un gros lot, soit une petite peluche.

250 cordelettes sont proposées au joueur, dont 30 sont reliées à un gros lot, et les autres à une petite peluche.

Il est bien sûr impossible pour le joueur de déterminer quelle cordelette est reliée à un gros lot ou à une peluche, et les tirages se font donc au hasard.

  1. Quelle est la probabilité de gagner un gros lot en tirant une cordelette ?

  2. Un joueur achète un ticket lui permettant de tirer 3 cordelettes.

    On désigne par $ X$ la variable aléatoire égale au nombre de gros lots gagnés par le joueur.

    (a) Montrer que $ X$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.
    (b) Déterminer la probabilité de gagner 3 petites peluches.
    (c) Calculer la probabilité de gagner au moins un gros lot.
    (d) Quelle est l'espérance de $ X$ ? Interpréter ce résultat.

Solution:


  1. Il y a 250 cordelettes, dont 30 sont reliées à un gros lot. La probabilité d'en gagner un est donc $ p=\dfrac{30}{250}=0,12$ .

  2. (a) Le joueur répète $ n=3$ fois l'expérience aléatoire consistant à tirer au hasard une cordelette, pour la quelle la probabilité de succès est $ p=0,12$ .

    Ses répétitions sont identiques et indépendantes entre elles.

    On en déduit que la variable aléatoire $ X$ , comptant le nombre de succès sur ces 3 répétitions, suit la loi binomiale $ \mathcal{B}(3;0,12)$ .

    (b) L'événement "Gagner 3 petites peluches" est l'événement "$ X=0$ ", dont la probabilité est donc:

    $\displaystyle P(X=0)=\left(\begin{array}{ll} 3 \\ 0\end{array}\right)\times 0,12^0 \times (1-0,12)^3
\simeq 0,68
$

    (c) L'événement "Gagner au moins un gros lot" est l'événement " $ X\geqslant 1$ ", dont la probabilité est donc:

    $\displaystyle P(X\geqslant 1)=1-P(X=0)\simeq 1-0,68 = 0,32
$

    (d) L'espérance de $ X$ est: $ E(X)=np=3\times 0,12=0,36$ : En effectuant 3 tirages, le joueur peut espérer obtenir en moyenne $ 0,36$ gros lot.


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