Produit scalaire

Détermination de la mesure d'un angle à l'aide du produit scalaire

Dans un repère orthonormé $\left(O;\vec{i},\vec{j}\right)$ , on considère le vecteur $\vec{u}\left(-2;5\right)$ , et le vecteur $\vec{v}$ tel que $\Vert\vec{v}\Vert=6$ . On sait de plus que $\vec{u}\cdot\vec{v}=12$ .

Déterminer une mesure de l'angle $\left(\vec{u},\vec{v}\right)$ à un degré près.

Solution:

On a $\Vert\vec{u}\Vert=\sqrt{(-2)^2+5^5}\simeq 5,38$ .

Ainsi, $\vec{u}\cdot\vec{v} =12 \simeq 5,38\times 6\times \cos\left(\vec{u},\vec{v}\right) \simeq 32,28 \cos\left(\vec{u},\vec{v}\right)$ ,

d'où, $\cos\left(\vec{u},\vec{v}\right)\simeq \dfrac{12}{32,28}$ , et $\left(\vec{u},\vec{v}\right)\simeq 68,18^\circ$ , ou $\left(\vec{u},\vec{v}\right)\simeq -68,18^\circ$ .

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