Produit scalaire

Détermination de la mesure d'un angle à l'aide du produit scalaire


Dans un repère orthonormé $ \left(O;\vec{i},\vec{j}\right)$ , on considère les vecteurs $ \vec{u}\left(4;3\right)$ , et $ \vec{v}\left(-1;1\right)$ .

Calculer le produit scalaire $ \vec{u}\cdot\vec{v}$ , puis déterminer une mesure de l'angle $ \left(\vec{u},\vec{v}\right)$ à un degré près.

Solution:


Dans un repère orthonormé $ \left(O;\vec{i},\vec{j}\right)$ , on considère les vecteurs $ \vec{u}\left(4;3\right)$ , et $ \vec{v}\left(-1;1\right)$ .

Calculer le produit scalaire $ \vec{u}\cdot\vec{v}$ , puis déterminer une mesure de l'angle $ \left(\vec{u},\vec{v}\right)$ à un degré près.

$ \vec{u}\cdot\vec{v}=4\times (-1)+3\times (1)=-1$ .

On a aussi, $ \vec{u}\cdot\vec{v}=\Vert\vec{u}\Vert\times \Vert\vec{v}\Vert\times \cos\left(\vec{u},\vec{v}\right)$ ,

avec, $ \Vert\vec{u}\Vert=\sqrt{4^2+3^2}=5$ et $ \Vert\vec{v}\Vert=\sqrt{(-1)^2+1^2}=\sqrt{2}$ , d'où $ \cos\left(\vec{u},\vec{v}\right)=\dfrac{-1}{5\sqrt{2}}$ ,

et donc $ \left(\vec{u},\vec{v}\right)=\cos^{-1}\left(\dfrac{-1}{5\sqrt{2}}\right)
\simeq \cos^{-1}\left(-0,14\right)\simeq 98^\circ
$ .



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