Produit scalaire

Machine à commande numérique

Une machine à commande numérique fabrique des pièces, dont celle schématisée ci-contre.

Lors du perçage des trous $ B$ et $ C$ , la pièce est placée dans un repère orthonormal.


On donne $ A(5;15)$ , $ B(-9;41)$ et $ C(21;10)$ .

  1. Calculer les coordonnées des vecteurs $ \overrightarrow{AB}$ et $ \overrightarrow{AC}$ .
  2. Calculer les normes des vecteurs $ \overrightarrow{AB}$ et $ \overrightarrow{AC}$ .
  3. Calculer le produit scalaire $ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ .
  4. En déduire la mesure de l'angle $ \widehat{BAC}$ , arrondie au dixième de degré près.

\begin{pspicture}(-4,-1.5)(5,5) \psline{->}(-3,0)(5,0) \psline{->}(0,-0.5)(0,5... ...0,0.) (-0.5,0.1)(-1,0.5)(-1.5,1.5) (-2,2.8)(-3,2.9) (-3.2,4.) \end{pspicture}

Solution:


  1. $ \overrightarrow{AB}\left(-14;26\right)$ ; $ \overrightarrow{AC}\left(16;-5\right)$
  2. $ \Vert\overrightarrow{AB}\Vert=AB=\sqrt{\left(-14\right)^2+26^2}\simeq 29,53$ ; $ \Vert\overrightarrow{AC}\Vert=AC=\sqrt{16^2+\left(-5\right)^2}=16,76$

  3. $ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=-14\times 16+26\times (-5)=-354$

  4. On a aussi, $ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} =AB\times AC\times \cos\left(\wid... ...s \cos\left(\widehat{BAC}\right) \simeq 494,92\cos\left(\widehat{BAC}\right) $ .

    On en déduit que $ \cos\left(\widehat{BAC}\right)\simeq \dfrac{-354}{494,92}$ , soit $ \left(\widehat{BAC}\right)\simeq 135,7^\circ$


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