Produit scalaire

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Un artisan doit réaliser une porte en bois comme l'indique la figure indicative suivante.

Pour consolider cette porte, il fixe deux barres métalliques $ OB$ et $ OD$ . Ce système de consolidation est efficace si l'angle $ \alpha$ est compris entre $ 35^\circ$ et $ 45^\circ$ .

On donne $ \widehat{AOE}=90^\circ$ , $ OA=2$ m, $ OE=3$ m. et les coordonnées des points $ B$ et $ D$ sont $ B(1;2,4)$ et $ D(3;1,7)$ .

On note $ \alpha$ l'angle $ \widehat{BOD}$ .

  1. Déterminer les coordonnées des vecteurs $ \overrightarrow{OB}$ et $ \overrightarrow{OD}$ .
  2. Calculer les longueurs $ OB$ et $ OD$ . Arrondir les résultats au centième.
  3. Calculer le produit scalaire $ \overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OD}$ .
  4. Calculer l'angle $ \alpha$ . Arrondir le résultat au degré.
  5. Conclure sur l'efficacité de la consolidation envisagée.


\begin{pspicture}(-1,-1)(4,4)
\psline{->}(0,0)(4,0)\rput(4.2,-0.2){$x$}
\pslin...
....15,1.85){$D$}
\psarc(0,0){0.6}{30}{68}\rput(0.5,0.6){$\alpha$}
\end{pspicture}

Solution:


  1. $ \overrightarrow{OB}\left(1;2,4\right)$ et $ \overrightarrow{OD}\left(3;1,7\right)$ .
  2. $ OB=\sqrt{1^2+2,4^2}=2,6$ et $ OD=\sqrt{3^2+1,7^2}\simeq 3,45$ .
  3. $ \overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OD}=1\times 3+2,4\times 1,7=7,08$ .
  4. $ \overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OD}=7,08=OB\times OD\times \cos\alpha
\simeq 8,97$ , d'où $ \alpha=\cos^{-1}\left(\dfrac{7,08}{8,97}\right)\simeq 38^\circ$ .
  5. On a bien $ 35^\circ<\alpha<45^\circ$ , et le système de consolidation est donc bien efficace.


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