Produit scalaire

Equilibre d'un solide sous l'action de trois forces

Sur la figure ci-dessous, le rectangle schématise un solide en équilibre sous l'action des trois forces $ \overrightarrow{F_1}$ , $ \overrightarrow{F_2}$ et $ \overrightarrow{T}$ .

On donne $ F_1=\Vert\overrightarrow{F_1}\Vert=200$ N et $ F_2=\Vert\overrightarrow{F_2}\Vert=350$ N.

  1. Ecrire la relation reliant les trois vecteurs $ \overrightarrow{F_1}$ , $ \overrightarrow{F_2}$ et $ \overrightarrow{T}$ , et traduisant l'équilibre du solide.
  2. En projetant cette relation sur les axes du repère orthonormal $ \left(O;\vec{i},\vec{j}\right)$ (décompositions des vecteurs sur les deux orthogonaux du repère), déterminer les composantes $ T_x$ et $ T_y$ du vecteur $ T$ .
  3. Calculer alors l'intensité de la force $ \Vec{T}$ .

  4. Déterminer une mesure de l'angle $ \alpha=\left(\vec{i},\Vec{T}\right)$ .

\begin{pspicture}(-3.8,-3)(3,3.2) \psline{->}(-3,0)(3.6,0) \psline{->}(0,-3)(0... ...ghtarrow{T}$} \psarc(0,0){2.2}{350}{0}\rput(2.5,-0.2){$\alpha$} \end{pspicture}

Solution:


  1. L'équilibre se traduit vectoriellement par la relation:     $ \overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{T}=\overrightarrow{0}$ .
  2. En projetant cette relation sur $ \left(O\vec{i}\right)$ , on obtient $ \overrightarrow{F_1}\cdot\vec{i}+\overrightarrow{F_2}\cdot\vec{i}+\overrightarrow{T}\cdot\vec{i} =\overrightarrow{0}\cdot\vec{i}=0$ ,

    soit $ -F_1\cos\left(30^\circ\right)+F_2\cos\left(75^\circ\right)+T_x=0$ , d'où, $ T_x=F_1\cos\left(30^\circ\right)-F_2\cos\left(75^\circ\right) \simeq 82,62$ N.

    De même, en projetant sur $ \left(O\vec{j}\right)$ , on obtient $ \overrightarrow{F_1}\cdot\vec{j}+\overrightarrow{F_2}\cdot\vec{j}+\overrightarrow{T}\cdot\vec{j} =\overrightarrow{0}\cdot\vec{j}=0$ ,

    soit $ -F_1\cos\left(60^\circ\right)+F_2\cos\left(15^\circ\right)+T_y=0$ , d'où, $ T_y=F_1\cos\left(60^\circ\right)-F_2\cos\left(15^\circ\right) \simeq -238,07$ N.

  3. L'intensité de $ \overrightarrow{T}$ est alors $ \Vert\overrightarrow{T}\Vert= \sqrt{T_x^2+T_y^2}\simeq 252$ N.

  4. On a $ \overrightarrow{T}\cdot\vec{i}=T_x=\Vert\overrightarrow{T}\Vert\times \Vert\vec{i}\Vert\times \cos\alpha \simeq 252\cos\alpha$ , d'où, $ \alpha\simeq \cos^{-1}\left(\dfrac{T_x}{252}\right)\simeq 70,86^\circ$ .

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