Produit scalaire

ROC: théorème de la médiane - Application

ROC

Prérequis:

a) Pour tous vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ : $\left(\vec{u}-\vec{v}\right)^2=\vec{u}^2+\vec{v}^2-2\vec{u}\cdot\vec{v}$ .

b) Pour tout vecteurs $\overrightarrow{AB}$ : $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AB}^2=AB^2$ .

Démonstration: Avec les notations de la figure ci-contre,

démontrer que $MA^2+MB^2=2MO^2+\dfrac{AB^2}{2}$ .

$\begin{pspicture}(-2,0.2)(5,1) \pspolygon(0,0)(3,0)(1.2,2) \psline(1.5,0)(1.2,... ...,-0.1)(2.3,0.1)\psline(2.3,-0.1)(2.4,0.1) \rput(1.5,-0.2){$O$} \end{pspicture}$
Application:
Démontrer que si est un parallélogramme, alors:

$\displaystyle AB^2+BC^2+CD^2+DA^2=AC^2+BD^2$