Produit scalaire

Détermination d'une longueur dans un rectangle repéré


Calcul d'une distance


$ ABCD$ est un rectangle de dimensions $ L$ et $ l$ ($ L>l$ ).

$ A'$ et $ C'$ sont les projetés orthogonaux des points $ A$ et $ C$ sur la droite $ (BD)$ .

Le plan est muni d'un repère orthonormal $ \left(A;\vec{i},\vec{j}\right)$ , dans lequel les points $ B$ et $ D$ ont pour coordonnées $ B(3;0)$ et $ D(0;2)$ .

  1. Justifier que $ \overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{DB}=A'C'\times DB$ .

  2. Calculer le produit scalaire $ \overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{DB}$ .

  3. Déduire des questions précédentes la longueur $ A'C'$ .

\begin{pspicture}(-0.5,0.2)(4,3.4)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1.66,0)\rp...
...t(-0.2,3.2){$D$}
\rput(1.5,2.45){$A'$}
\rput(3.5,0.5){$C'$}
%
\end{pspicture}



Solution:


  1. Les projetés orthogonaux de $ A$ et $ C$ sur la droite $ (BD)$ sont respectivement $ A'$ et $ C'$ , et donc, $ \overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{A'C'}\times \overrightarrow{DB}=A'C'\times DB$ , car $ \overrightarrow{A'C'}$ et $ \overrightarrow{DB}$ sont colinéaires et de même sens.

  2. On a les coordonnées: $ A(0;0)$ et $ C(3;2)$ d'où $ \overrightarrow{AC}\left(3;2\right)$ , et $ \overrightarrow{DB}(3;-2)$ .

    Ainsi, $ \overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{DB}=3\times 3+2\times (-2)=5$ .

  3. D'après les questions précédentes, on a donc: $ A'C'\times DB=\overrightarrow{AC}\times \overrightarrow{DB}=5$ , d'où $ A'C'=\dfrac{5}{DB}$ .

    Or, d'après le théorème de Pythagore, $ DB=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$ , d'où, $ A'C'=\dfrac{5}{\sqrt{13}}$ .



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