Produit scalaire

Détermination d'une longueur dans un rectangle

Exercice corrigé - Produit scalaire - Calcul de distance dans un rectangle: calcul de divers produits scalaires


Calcul d'une distance


$ ABCD$ est un rectangle de dimensions $ L$ et $ l$ ($ L>l$ ).

$ A'$ et $ C'$ sont les projetés orthogonaux des points $ A$ et $ C$ sur la droite $ (BD)$ .

  1. Calculer le produit scalaire $ \left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}\right)\cdot\left(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}\right)$ .

  2. Justifier que $ \overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{DB}=A'C'\times DB$ .

  3. Déduire des questions précédentes que: $ A'C'=\dfrac{L^2-l^2}{\sqrt{L^2+l^2}}$ .

\begin{pspicture}(-0.5,0.2)(4,3.4) \pspolygon(0,0)(5,0)(5,3)(0,3) \psline(0,3)... ...t(-0.2,3.2){$D$} \rput(1.5,2.45){$A'$} \rput(3.5,0.5){$C'$} % \end{pspicture}




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