Produit scalaire

Détermination d'une longueur dans un rectangle


Calcul d'une distance


$ ABCD$ est un rectangle de dimensions $ L$ et $ l$ ($ L>l$ ).

$ A'$ et $ C'$ sont les projetés orthogonaux des points $ A$ et $ C$ sur la droite $ (BD)$ .

  1. Calculer le produit scalaire $ \left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}\right)\cdot\left(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}\right)$ .

  2. Justifier que $ \overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{DB}=A'C'\times DB$ .

  3. Déduire des questions précédentes que: $ A'C'=\dfrac{L^2-l^2}{\sqrt{L^2+l^2}}$ .

\begin{pspicture}(-0.5,0.2)(4,3.4)
\pspolygon(0,0)(5,0)(5,3)(0,3)
\psline(0,3)...
...t(-0.2,3.2){$D$}
\rput(1.5,2.45){$A'$}
\rput(3.5,0.5){$C'$}
%
\end{pspicture}



Solution:


  1. $ \left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}\right)\cdot\left(\overrightarrow...
...arrow{AB}\cdot\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{DC}
$     avec,

    $ \bullet$
    $ \overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{DA}=-AD\times DA=-l^2$ , car les vecteurs sont colinéaires de sens opposés;

    $ \bullet$
    $ \overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{DA}=0$ car, $ ABCD$ étant un rectangle, les vecteurs sont orthogonaux;

    $ \bullet$
    $ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{DC}=-AB\times DC=L^2$ car les vecteurs sont colinéaires de même sens.


    d'où, $ \left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}\right)\cdot\left(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}\right)=-l^2+L^2$ .

  2. Les projetés orthogonaux de $ A$ et $ C$ sur la droite $ (BD)$ sont respectivement $ A'$ et $ C'$ , et donc, $ \overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{DB}=A'C'\times DB$ .

  3. On a $ \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}$ et $ \overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DB}$ , d'où, $ \left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}\right)\cdot\left(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}\right)
=\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{DB}$ .

    On en déduit, d'après les questions précédentes, que:

    $\displaystyle \left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}\right)\cdot\left(\o...
...ght)
=\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{DB}
=-l^2+L^2
=A'C'\times DB
$

    Ainsi, $ A'C'=\dfrac{L^2-l^2}{DB}$

    Or, d'après le théorème de Pythagore, $ DB=\sqrt{L^2+l^2}$ , d'où, au final, $ A'C'=\dfrac{L^2-l^2}{\sqrt{L^2+l^2}}$ .



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