Produit scalaire

ROC: théorème de la médiane - Application


$ A$ et $ B$ sont deux points tels que $ AB=6$ cm. $ I$ est le milieu du segment $ [AB]$ .

  1. On note $ \mathcal{E}$ l'ensemble des points $ M$ tels que: $ \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=7$ .
    a.
    Démontrer que $ \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=MI^2-IA^2$ .
    b.
    En déduire que $ M$ appartient à $ \mathcal{E}$ si et seulement si: $ MI^2=16$ .
    c.
    Déterminer alors l'ensemble $ \mathcal{E}$ .
  2. On note $ \mathcal{F}$ l'ensemble des points $ M$ tels que: $ \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=-10$ . Déterminer l'ensemble $ \mathcal{F}$ .

Solution:


  1. a.
    $ \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}
=\left(\overrightarrow{MI}+\overr...
...ow{IA}+\overrightarrow{IB}\right)+\overrightarrow{IA}\cdot\overrightarrow{IB}
$

    or, $ \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{O}$ car $ I$ est le milieu de $ [AB]$ , et de même $ \overrightarrow{IA}\cdot\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{IA}\cdot\left(-\overrightarrow{IA}\right)=-IA^2$ .

    On a donc bien ainsi, $ \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=MI^2-IA^2$ .

    b.
    On a alors, $ M\in\mathcal{E}
\iff \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=7
\iff MI^2-IA^2=7
$ or, $ IA=\dfrac{AB}{2}=3$ , d'où $ IA^2=9$ , et donc, $ M\in\mathcal{E}\iff MI^2=7+IA^2=16$ .
    c.
    $ \mathcal{E}$ est donc le cercle de centre $ I$ et de rayon $ \sqrt{16}=4$ .

  2. En procédant comme précédemment, on a:

    $ M\in\mathcal{F}
\iff \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MA}=-10
\iff MI^2-IA^2=-10
\iff MI^2=-10+IA^2=-10+9=-1
$ ce qui est impossible car pour tout point $ M$ , $ MI^2\geqslant 0$ .

    Ainsi l'ensemble $ \mathcal{F}$ est vide: $ \mathcal{F}=\emptyset$ .



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