Produit scalaire

Orthogonalité, médiatrice et équations de droites

On considère, dans le plan rapporté à un repère orthonormale $ (O;\vec{i},\vec{j})$ les points $ A(2;6)$ , $ B(-2;-4)$ et $ C(-3;-21)$ .

  1. Déterminer les coordonnées du point $ D$ tel que: $ \overrightarrow{BD}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AB}$ .
  2. Montrer que les droites $ (AB)$ et $ (CD)$ sont perpendiculaires.
  3. Déterminer l'équation de la médiatrice de $ [AB]$ .

Solution:


  1. Soit $ D(x;y)$ . Alors $ \overrightarrow{BD}(x+2;y+4)$ et $ \overrightarrow{AB}(-4;-10)$ , d'où,

    $ \overrightarrow{BD}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AB} \iff \left\{\begin{array... ...\right. \iff \left\{\begin{array}{ll} x=-8 \\ y=-19 \end{array}\right. $ .

    Les coordonnées de $ D$ sont donc $ D(-8;-19)$ .

  2. On a $ \overrightarrow{AB}(-4;-10)$ et $ \overrightarrow{CD}(-5;2)$ , d'où,

    $ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}=(-4)\times (-5)+(-10)\times (2) =0$ .

    Les vecteurs $ \overrightarrow{AB}$ et $ \overrightarrow{CD}$ sont donc orthogonaux, et les droites $ (AB)$ et $ (CD)$ sont perpendiculaires.

  3. Le milieu de $ [AB]$ est $ I(0;1)$ .

    Soit $ M(x;y)$ , alors $ \overrightarrow{IM}(x;y-1)$ , et $ M$ appartient à la médiatrice de $ [AB]$ si et seulement si $ \overrightarrow{IM}\cdot\overrightarrow{AB}=0 \iff x\times (-4)+(y-1)\times (-10)=0 \iff -4x-10y+10=0$ .

    Une équation de la médiatrice de $ [AB]$ est donc: $ -4x-10y+10=0$ .


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