Second degré

Résolution d'équations et inéquations


Résoudre: $2+\dfrac{3}{x-4}\geqslant\dfrac{1}{2-x}$

Solution:


$2+\dfrac{3}{x-4}\geqslant\dfrac{1}{2-x}
\iff
\dfrac{-2x^2+8x-6}{(x-4)(2-x)}\geqslant0
\iff 
\dfrac{-x^2+4x-3}{(x-4)(2-x)}\geqslant0$.
Le trinôme du 2nd degré au numérateur a un discriminant $\Delta=4=2^2>0$ et admet donc deux racines $x_1=1$ et $x_2=3$.
Le trinôme du 2nd degré du dénominateur a comme racines évidentes 2 et 4.
\[\begin{tabular}{|c|lcccccccccr|}\hline
$x$ & $-\infty$ & &1& &2& &3& &4& &$+\infty$ 
\\\hline
$-x^2+4x-3$&   &-& \zb&+&      $|$    &+&\zb&$-$& $|$ &$-$&\\\hline
$(x-4)(2-x)$& &-& $|$ &-& \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} &+&$|$&+& \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & -&\\\hline
$\dfrac{-x^2+4x-3}{(x-4)(2-x)}$
& &+& \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} &-& \mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$} &+&\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}&-& \mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$} & +&\\\hline
\end{tabular}
\]

Ainsi, $\mathcal{S}=]-\infty;1]\cup]2;3]\cup]4;+\infty[$.


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