Deux suites récurrentes imbriquées

Exercice corrigé sur les suites


On considère les suites $\left( u_n\rp$ et $\left( v_n\rp$ définies par leur premier terme $u_0=1$ et $v_0=2$ et, pour tout entier $n$,

\[\la\begin{array}{ll}
u_{n+1}=\dfrac13u_n+\dfrac23v_n\\[.8em]
v_{n+1}=\dfrac15u_n+\dfrac45v_n\enar\right.\]
  1. Calculer $u_1$ et $v_1$.
  2. On pose, pout tout entier $n$, $w_n=v_n-u_n$.
    1. Calculer $w_0$ et $w_1$.
    2. Montrer que la suite $\left( w_n\rp$ est géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.
      Donner alors l'expression explicite de $w_n$ en fonction de $n$.
  3. On pose, pour tout entier $n$, $t_n=3u_n+10v_n$.
    1. Calculer $t_0$ et $t_1$.
    2. Montrer que la suite $\left( t_n\rp$ est constante.
  4. Exprimer alors, explicitement en fonction de $n$, les termes $u_n$ et $v_n$.
  5. Quelles sont les limites de ces deux suites ?

Solution:



  1. \[\la\begin{array}{ll}
  u_1&=\dfrac13\tm1+\dfrac23\tm2=\dfrac53\\[.8em]
  v_1&=\dfrac15\tm1+\dfrac45\tm2=\dfrac95\enar\right.\]

  2. On pose, pout tout entier $n$, $w_n=v_n-u_n$.
    1. $w_0=v_0-u_0=2-1=1$ et $w_1=v_1-u_1=\dfrac95-\dfrac53=\dfrac2{15}$
    2. Pour tout entier $n$ on a,
      \[\begin{array}{ll}
    w_n+1&=v_{n+1}-u_{n+1}\\[.8em]
    &=\lp\dfrac15u_n+\dfrac45v_n\rp-\lp\dfrac13u_n+\dfrac23v_n\rp\\[1.2em]
    &=-\dfrac2{15}u_n+\dfrac2{15}v_n\\[.8em]
    &=\dfrac2{15}\left( v_n-u_n\rp=\dfrac2{15}w_n
    \enar\]

      ce qui montre que cette suite est géométrique de raison $q=\dfrac2{15}$ et de premier terme $w_0=1$.
      On a alors directement, $w_n=w_0q^n=\lp\dfrac2{15}\rp^n$ pour tout entier $n$.
    1. $t_0=3u_0+10v_0=23$ et $t_1=3u_1+10v_1=23$.
    2. Pour tout entier $n$, on a
      \[\begin{array}{ll}
    t_{n+1}&=3u_{n+1}+10v_{n+1}\\[.6em]
    &=3\lp\dfrac13u_n+\dfrac23v_n\rp+10\lp\dfrac15u_n+\dfrac45v_n\rp\\[1em]
    &=3u_n+10v_n=t_n\enar\]

      ce qui montre que la suite est constante, égale à $t_0=23$.
  3. D'après ce ui précède, on a montré que
    \[\la\begin{array}{ll}
  w_n=v_n-u_n=\lp\dfrac2{15}\rp^n\\[1em]
  t_n=3u_n+10v_n=23\enar\right.\]

    On peut résoudre ce système dont les inconnues sont $u_n$ et $v_n$.
    Par substitution par exemple, la première relation donne $v_n=u_n+\lp\dfrac2{15}\rp^n$, puis, dans la deuxième relation,
    \[\begin{array}{ll}&3u_n+10v_n=23\\[.6em]
  \iff&3u_n+10\left( u_n+\left(\dfrac2{15}\rp^n\rp=23\\[1.2em]
  \iff&13u_n=23-10\lp\dfrac2{15}\rp^n\\[1.2em]
  \iff&u_n=\dfrac{23}{13}-\dfrac{10}{13}\lp\dfrac2{15}\rp^n\enar\]

    puis, en reprenant la première relation,
    \[\begin{array}{ll}v_n&=u_n+\lp\dfrac2{15}\rp^n\\[1.2em]
  &=\dfrac{23}{13}-\dfrac{10}{13}\lp\dfrac2{15}\rp^n+\lp\dfrac2{15}\rp^n\\[1.2em]
  &=\dfrac{23}{13}+\dfrac3{13}\lp\dfrac2{15}\rp^n\enar\]


  4. Comme $0<\dfrac2{15}<1$, on a $\dsp\lim_{n\to+\infty}\lp\dfrac2{15}\rp^n=0$, et alors
    \[\lim_{n\to+\infty}u_n=\lim_{n\to+\infty}v_n=\dfrac{23}{13}\]



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