Longueur d'arc de cercle et aire de secteur

Intersection de secteurs angulaires


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\[\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(-3.1,-3.1)(3.1,3.1)
\rput(0,0){$\bullet$}\rput(-.3,0){$A$}
\rput(3,0){$\bullet$}\rput(3.3,0){$B$}
\pscircle(0,0){3}
\pscircle(3,0){3}
\rput(1.5,2.55){$\bullet$}\rput(1.5,3){$C$}
\rput(1.5,-2.6){$\bullet$}\rput(1.5,-3){$D$}
\begin{psclip}{\pscircle(0,0){3}}
\pscircle[fillstyle=hlines,hatchangle=10,hatchsep=.7em](3,0){3}
\end{psclip}
\end{pspicture}\]

Dans la figure ci-dessus, on a construit un segment $[AB]$ de longueur $R$, le cercle de centre $A$ passant par $B$, et le cercle de centre $B$ passant par $A$. Ces deux cercles se coupent en $C$ et $D$.
  1. Quelle est la nature du triangle $ABC$ ? En déduire une mesure de $\lp\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AC}\rp$ et $\lp\overrightarrow{BD},\overrightarrow{BC}\rp$
  2. Quel est le périmètre de la zone hachurée ?
  3. Quelle est l'aire de la zone hachurée ?

Solution:


  1. On a $AB=R=AC=BC$ et donc $ABC$ est un triangle équilatéral. On en déduit que $\lp\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AC}\rp=2\lp\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\rp=\dfrac{2\pi}{3}$ et de même $\lp\overrightarrow{BD},\overrightarrow{BC}\rp=-\dfrac{2\pi}{3}$
  2. L'arc $DC$ a donc pour longueur $\dfrac{2\pi}{3}R$, le périmètre de la zone hachurée est alors $\dfrac{4\pi}{3}R$.
  3. L'aire d'un secteur d'un radian est $\dfrac{\pi R^2}{2\pi}=\dfrac12R^2$, donc ici l'aire d'un secteur est $\dfrac12R^2\tm\dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{\pi R^2}{3}$. L'aire des deux secteurs est donc $\dfrac{2\pi R^2}{3}$.
    Pour obtenir l'aire du dmaine hachuré, il faut retirer l'aire du losange qui a été comptée deux fois. Cette aire est celle de deux triangles équilatéraux de côté $R$, et donc de hauteur $h=R\dfrac{\sqrt3}{2}$, soit une aire de $2\tm\dfrac{Rh}{2}=\dfrac{R^2\sqrt3}{2}$.
    L'aire du domaine hachuré est donc $\dfrac{2\pi R^2}{3}-\dfrac{R^2\sqrt3}{2}
  =R^2\lp\dfrac{2\pi}{3}-\dfrac{\sqrt3}{2}\rp$.
    \[\psset{unit=.8cm}
  \begin{pspicture}(-3,-3)(5,3)
  \pscircle(0,0){3}
  \pscustom{
  \psline(1.5,-2.55)(0,0)(1.5,2.55)\gsave
  \psarc(0,0){3}{-60}{60}
  \fill[fillstyle=hlines,hatchangle=10,hatchsep=.5em]
  \grestore}
  \psarc(0,0){1}{-60}{60}
  \pscircle[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=white](1.6,0){.58}
  \rput(1.6,0){$\dfrac{2\pi}{3}$}
  \end{pspicture}
  \begin{pspicture}(-3,-3)(6,3)
  \pscircle(0,0){3}
  \pscustom{
  \psline(1.5,-2.55)(0,0)(1.5,2.55)\gsave
  \psarc(0,0){3}{-60}{60}
  \fill[fillstyle=hlines,hatchangle=10,hatchsep=.5em]
  \grestore}
  \pscircle(3,0){3}
  \pscustom{
  \psline(1.5,-2.55)(3,0)(1.5,2.55)\gsave
  \psarc(3,0){3}{120}{240}
  \fill[fillstyle=hlines,hatchangle=-10,hatchsep=.5em]
  \grestore}
  \pspolygon[linewidth=1.6pt](0,0)(1.5,-2.55)(3,0)(1.5,2.55)
  \end{pspicture}\]



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