ROC - Restitution Organisée des connaissances

Equation cartésienne d'une droite passant par 2 points


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On sait que:

Propriété 1:
Deux vecteurs $ \vec{u}(X;Y)$ et $ \vec{v}(X';Y')$ sont colinéaires si et seulement si $ XY'-X'Y=0$ .

Propriété 2:
Le point $ M$ appartient à la droite $ (AB)$ si et seulement si $ \overrightarrow{AM}$ et $ \overrightarrow{BM}$ sont colinéaires.


En utilisant ces propriétés, démontrer que la droite $ d$ passant par $ A(x_A;y_A)$ et $ B(x_B;y_B)$ a pour équation:

$\displaystyle (y_B-y_A)x-(x_B-x_A)y+x_By_A-x_Ay_B=0
$

Solution:


Le point $ M(x;y)$ est un point de $ d$ si et seulement si, d'après la propriété 2,
$ \overrightarrow{AM}(x-x_A;y-y_A)$ et $ \overrightarrow{BM}(x-x_B;y-y_B)$ sont colinéaires, soit, d'après la propriété 1,

$\displaystyle \hspace{-0.4cm}\begin{array}{ll}
(x-x_A)(y-y_B)-(x-x_B)(y-y_A)=0
...
...y_A=0 \vspace{0.2cm}\\
&\iff
(y_B-y_A)x-(x_B-x_A)y+x_By_A-x_Ay_B=0
\end{array}$



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