Points sur une hyperbole

Concourance de trois droites


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Dans un repère orthonormé, on donne les points $ A(-1;-1)$ , $ B(-1;0)$ et $ C(0;-1)$ . $ \mathcal{C}$ est la courbe représentative de la fonction inverse $ f:x\mapsto \dfrac{1}{x}$ .


Soit deux réels $ a$ et $ b$ , et $ M(a;b)$ un point quelconque du plan auquel on associe les points $ P(a;0)$ et $ Q(0;b)$ .


On souhaite étudier la position relative des droites $ (BQ)$ , $ (AM)$ et $ (CP)$ .

  1. Placer sur une figure ces six points, représenter la courbe $ \mathcal{C}$ et les droites $ (BQ)$ , $ (AM)$ et $ CP)$ .

  2. a. Calculer les coordonnées des vecteurs $ \overrightarrow{AM}$ , $ \overrightarrow{BQ}$ et $ \overrightarrow{CP}$ en fonction de $ a$ et $ b$ .
    b. Montrer que ces vecteurs sont colinéaires si et seulement si $ ab=1$ .
    c. Que dire alors des droites $ (BQ)$ , $ (AM)$ et $ (CP)$ lorsque $ M$ est un point de $ \mathcal{C}$ ?

  3. On suppose par la suite que $ ab\not=1$ .
    a. Démontrer que la droite $ (BQ)$ a pour équation $ bx-y+b=0$ .
    b. Déterminer une équation de la droite $ (CP)$ .
    c. Calculer en fonction de $ a$ et $ b$ les coordonnées du point $ N$ intersection de $ (CP)$ et $ (BQ)$ .

Solution:




  1. \begin{pspicture}....\end{pspicture}

  2. a. $ \overrightarrow{AM}(a+1;b+1)$ ; $ \overrightarrow{BQ}(1;b)$ et $ \overrightarrow{CP}(a;1)$ .

    b. Les vecteurs $ \overrightarrow{AM}$ et $ \overrightarrow{BQ}$ sont colinéaires si et seulement si:

    $\displaystyle (a+1)\times b-(b+1)\times 1=0
\iff
ab +b -b -1 =0
\iff
ab=1
$

    De même, les vecteurs $ \overrightarrow{BQ}$ et $ \overrightarrow{CP}$ sont colinéaires si et seulement si:

    $\displaystyle 1\times 1-b\times a=0 \iff ab=1
$

    Finalement, ces tois vecteurs sont colinéaires si et seulement si $ ab=1$ .
    c. $ M(a;b)\in\mathcal{C}\iff b=\dfrac{1}{a} \iff ab=1$ . On en déduit donc que lorsque $ M$ est un point de $ \mathcal{C}$ , les vecteurs $ \overrightarrow{AM}$ , $ \overrightarrow{BQ}$ et $ \overrightarrow{CP}$ sont colinéaires, et donc que les droites $ (BQ)$ , $ (AM)$ et $ CP)$ sont parallèles.

  3. On suppose par la suite que $ ab\not=1$ .
    a. La droite $ (BQ)$ a pour vecteur directeur $ \overrightarrow{BQ}(1;b)$ et a donc une équation cartésienne de la forme $ bx-y+c=0$ . De plus $ B(-1;0)\in(AB)\iff b\times (-1)-0+c=0
\iff
c=b
$

    La droite $ (BQ)$ a donc pour équation $ bx-y+b=0$ .

    b. $ \overrightarrow{CP}(a;1)$ est un vecteur directeur de la droite $ (CP)$ qui a donc une équation cartésienne de la forme $ x-ay+c=0$ .

    De plus, $ C(0;-1)\in(CP)\iff 0-a\times (-1)+c=0\iff c=-a$ .

    La droite $ (CP)$ à donc pour équation $ x-ay-a=0$ .

    c. $ (CP)$ et $ (BQ)$ se coupent en $ N(x;y)$ tel que

    \begin{displaymath}\begin{array}{ll}
\left\{\begin{array}{rcrcr}
-x + ay +a=0\...
...0)(5,0) \\
&\hspace{1.1cm}(ab-1)y=-ab-b=-b(a+1)
\end{array} \end{displaymath}

    D'où, $ y=\dfrac{-b(a+1)}{ab-1}$ .

    On alors, $ -x+ay+a=0\iff x=ay+a$ , d'où,

    $\displaystyle x=-a\dfrac{b(a+1)}{ab-1}+a
=a\left[-\dfrac{b(a+1)}{ab-1}+1\right]
=a\left[\dfrac{-b-1}{ab-1}\right]
=\dfrac{-a(b+1)}{ab-1}
$

    On a donc $ N\left(\dfrac{-a(b+1)}{ab-1}\,;\,\dfrac{-b(a+1)}{ab-1}\right)$ .



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