Nombres complexes

Plan complexe et géométrie


Dans le plan complexe, on considère les points $ A$ , $ B$ et $ C$ d'affixes respectives $ z_A=1-i$ , $ z_B=-2+i$ et $ z_C=3+2i$ .

  1. Placer dans le repère ci-dessous les points $ A$ , $ B$ et $ C$ :

    $\displaystyle \psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-5,-4.5)(5,4.5)
\psline[line...
...\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.3pt](-5.2,\i)(5.2,\i)
}
\end{pspicture} $

  2. Calculer les distances $ AB$ et $ BC$ .

  3. Déterminer l'affixe du point $ D$ tel que $ ABCD$ soit un parallélogramme.

  4. Déterminer l'affixe du point $ I$ mileu de $ [AB]$ . Placer le point $ I$ sur la figure précédente.

  5. Tracer sur le graphique précédent l'ensemble $ \mathcal{E}$ des points $ M$ d'affixe $ z$ tels que $ \vert z-1+i\vert=\vert z+2-i\vert$ .

Solution:


  1. $ A$ , $ B$ et $ C$ sont les points d'affixes respectives $ z_A=1-i$ , $ z_B=-2+i$ et $ z_C=3+2i$ .

    $\displaystyle \psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-5,-4.5)(5,4.2)
\psline[line...
...{3 2 div x mul 3 4 div add}
\rput[r](1.8,3.6){$\mathcal{E}$}
\end{pspicture} $

  2. $ AB=\vert z_B-z_A\vert=\vert-2+i-(1-i)\vert=\vert-3+2i\vert=\sqrt{13}$

    $ BC=\vert z_C-z_B\vert=\vert 3+2i-(-2+i)\vert=\vert 5+i\vert=\sqrt{26}$

  3. Soit $ D(z_D)$ , alors $ ABCD$ est un parallélogramme si et seulement si

    \begin{displaymath}\begin{array}{ll}
\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}
&...
...]
&\iff
z_D
=z_C-z_B+z_A=3+2i-(-2+i)+1-i
=6-2i
\end{array}\end{displaymath}

  4. L'affixe $ z_I$ du milieu $ I$ de $ [AB]$ est $ z_I=\dfrac{z_A+z_B}{2}=-\dfrac12$ .

  5. On a: $ \vert z-1+i\vert=\vert z+2-i\vert\iff \vert z-z_A\vert=\vert z-z_B\vert \iff AM=BM$ .

    L'ensemble $ \mathcal{E}$ des points $ M$ recherchés est donc la médiatrice de $ [AB]$ .



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